Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $

План решения

Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = \pm \infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $

  1. Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
  2. Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
  3. Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
  4. Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
  5. Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $

Примеры решений

Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 - 3x^2 - 4 $ на отрезке $ [0;2] $
Решение

Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $.

Находим производную: $$ y' = (2x^3 - 3x^2 - 4)' = 6x^2 - 6x $$

Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки:

$$ 6x^2 - 6x = 0 $$ $$ 6x(x - 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$

Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $:

$$ x_1 \in [0;2], x_2 \in [0;2] $$

Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $:

$$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 4 = -4 $$

$$ y(x_2) = y(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 4 = -5 $$

$$ y(b) = y(2) = 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 4 = 0 $$

Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ M = 0, m = -5 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = \frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $
Решение

Функция непрерывна на $ x \in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $.

Выполняем нахождение производной:

$$ y' = (\frac{4x^2}{3+x^2})' = \frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)'}{(3+x^2)^2} = $$

$$ = \frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = \frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = \frac{24x}{(3+x^2)^2} $$

Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки:

$$ \frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 \neq 0 $$ $$ x = 0 $$

Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $.

Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $:

$$ y(-1) = \frac{4\cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = \frac{4}{4}=1 $$

$$ y(0) = \frac{0}{3} = 0 $$

$$ y(1) = \frac{4\cdot 1^2}{3+1^2} = \frac{4}{4} = 1 $$

Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $.

Ответ
$$ m = 0, M = 1 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ