Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. То есть можно отделить $y$ от $x$ по разные стороны уравнения. Для этого видим, что можно в левой части уравнения вынести за скобку $y$. Затем разделим обе части уравнения на скобку и корень. $$y(x^2+1)dy=\sqrt{4+y^2}dx,$$ $$\frac{ydy}{\sqrt{4+y^2}}=\frac{dx}{x^2+1}$$

Теперь нужно проинтегрировать обе части уравнения. Для этого необходимо использовать таблицу интегрирования основных элементарных функций. Для правой части преобразований делать не нужно, можно сразу взять данные из таблицы. А вот левую часть нужно преобразовать в подходящий вид. Для этого выполним подведение под знак дифференциала числитель. $$\int \frac{d(4+y^2)}{2\sqrt{4+y^2}} = arctg x + C$$ Теперь левую часть можно легко проинтегрировать, зная, что $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Получаем $$\sqrt{4+y^2} = arctg x + C.$$

И вот теперь мы подошли к самому главному. Вытащить $y$ из под корня или нет? Так как общий интеграл дифференциального уравнения выглядит следующим образом $F(x,y)=С$, то достаточно перенести арктангенс из правой части равенства в левую $$\sqrt{4+y^2}-arctg x = C.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Для начала убеждаемся, что уравнение однородное. Для этого подставляем $\lambda$ перед всеми $x$ и $y$. Для подтверждения однородности все $\lambda$ должны сократиться и уравнение примет исходный вид. $$((\lambda x)^2 + (\lambda y)^2) dx - \lambda x \lambda y dy = 0,$$ $$\lambda^2 (x^2 + y^2) dx - \lambda^2 xy dy = 0,$$ $$(x^2+y^2)dx - xydy = 0.$$

Далее начинаем решение уравнения с подстановки $y = tx$, $y' = t'x+t$. Но заметим, что $y' = \frac{dy}{dx}$. Получаем $$(x^2+t^2x^2)-x^2 t (t'x+t)=0,$$ $$x^2 + t^2 x^2 - t'tx^3 - t^2 x^2=0,$$ $$x^2 - t'tx^3=0.$$ После раскрытия  скобок и сокращения подобных получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Выполняем разделение переменных $t$ и $x$ по левой и правой частям уравнения. $$t'tx^3 = x^2,$$ $$t't = \frac{1}{x},$$ $$t\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}, $$ $$tdt = \frac{dx}{x}.$$ Далее теперь можно проинтегрировать обе части уравнения. Для этого используем таблицу интегралов. $$\int t dt = \int \frac{dx}{x},$$ $$\frac{t^2}{2} = \ln|x| + C,$$ $$t^2 = 2\ln|x|+C.$$ Выполняем обратную замену $t = \frac{y}{x}$ $$\frac{y^2}{x^2} = 2\ln|x|+C.$$ Так как достаточно по условию задания найти общий интеграл дифференциального уравнения, то запишем ответ в виде $$\frac{y^2}{x^2} - 2\ln|x| = C.$$