Метод Бернулли решения дифференциальных уравнений

Для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида: $$y' + P(x)y = Q(x) $$ существует замечательный метод Бернулли решения дифференциальных уравнений. Суть его состоит в том, чтобы сделать замену в дифференциальном уравнении на: $$y = uv, y'=u'v+uv'$$. После того, как замена будет выполнена ДУ сведется к системе уравнений с разделяющимися переменными, о решении которых было рассказано в статье решение ДУ с разделяющимися переменными. Советуем ознакомиться с ней. Так как умение решать уравнения данного типа необходимо для успешного решения большинства видов дифференциальных уравнений, в том числе и методом Бернулли, о котором пойдёт речь ниже.

Примеры решения дифференциальных уравнений методом Бернулли

Пример 1

Решить методом Бернулли дифференциальное уравнение: $$y'+2xy=xe^{-x^2}$$

Пожалуй решение начнем с замены подстановкой $$y = uv, y'=u'v+uv'$$ Получаем $$u'v+uv'+2xuv=xe^{-x^2}$$ Далее необходимо вынести за скобку общий множитель u во втором и третьем слагаемом левой части дифференциального уравнения. Имеем $$u'v+u(v'+2xv)=xe^{-x^2}$$

Теперь каким-то образом нужно найти неизвестные функции u и v. Чтобы их найти придётся составить систему уравнений $$\binom{v'+2xv=0}{u'v=xe^{-x^2}}$$

Заметьте, что значение первого уравнения мы взяли равным нулю, чтобы из него получить v, а затем зная v из второго получить u. Приступаем решать её:

1) $$v'+2xv=0 $$ $$\frac{dv}{dx}=-2xv$$ $$\frac{dv}{v}=-2xdx$$  $$ln|v|=-x^2$$ $$v=e^{-x^2}$$ $$v=e^{-x^2} $$

Зная теперь чему равно v возьмём и подставим его во второе уравнение системы. Далее найдём u

2) $$u'v=xe^{-x^2}$$ $$\frac{du}{dx}=\frac{1}{v}xe^{-x^2}$$ $$du=\frac{dx}{v}xe^{-x^2}$$ $$u = \int \frac{x}{v}e^{-x^2}dx$$ $$u=\int xdx $$ $$u=\frac{x^2}{2}+C$$

Итак, подведем итог:

Так как y=uv, то ответ $$y=(\frac{x^2}{2}+C) \cdot e^{-x^2}$$

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение первого порядка методом Бернулли $$y'-y=e^x$$

Как обычно не задумываясь ни на секунду выполняем замену $$y=uv, y'=u'v+uv'$$

Подставляем её в исходное дифференциальное уравнение

$$u'v+uv'-uv=e^x$$

Не забываем вынести u за скобки, чтобы не нарушить алгоритм решения

$$u'v+u(v'-v)=e^x$$

Теперь необходимо найти функции u и v из полученного уравнения путём составления системы

$$\binom{v'-v=0}{u'v=e^x}$$

Запускаем вычислительную машину для решения двух уравнений

1) Найдем v из v'-v=0

$$v'=v$$ $$\frac{dv}{dx}=v$$ $$ \frac{dv}{v}=dx$$ $$\int \frac{dv}{v} = \int dx$$ $$ln|v|=x$$ $$v=e^x$$

2) Подставим найденное v во второе уравние и наконец-таки найдём u.

$$u'e^x=e^x$$ $$u'=1$$ $$u=\int dx$$ $$u=x+С$$

Итак мы получили u и v. Теперь достаточно записать ответ, что $$y = (x+C)e^x$$

Рекомендуем прочитать:
ДУ с разделяющимися переменными