Метод Бернулли решения дифференциальных уравнений

Для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида:  существует замечательный метод Бернулли решения дифференциальных уравнений. Суть его состоит в том, чтобы сделать замену в дифференциальном уравнении на: . После того, как замена будет выполнена ДУ сведется к системе уравнений с разделяющимися переменными, о решении которых было рассказано в статье решение ДУ с разделяющимися переменными. Советуем ознакомиться с ней. Так как умение решать уравнения данного типа необходимо для успешного решения большинства видов дифференциальных уравнений, в том числе и методом Бернулли, о котором пойдёт речь ниже.

Примеры решения дифференциальных уравнений методом Бернулли

Пример 1
Решить методом Бернулли дифференциальное уравнение:
Решение

Пожалуй решение начнем с замены подстановкой  Получаем  Далее необходимо вынести за скобку общий множитель u во втором и третьем слагаемом левой части дифференциального уравнения. Имеем

Теперь каким-то образом нужно найти неизвестные функции и . Чтобы их найти придётся составить систему уравнений

Заметьте, что значение первого уравнения мы взяли равным нулю, чтобы из него получить , а затем зная из второго получить . Приступаем решать её:

1)

Зная теперь чему равно v возьмём и подставим его во второе уравнение системы. Далее найдём

2)

Итак, подведем итог:

Так как , то ответ

Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание
Пример 2
Решить дифференциальное уравнение первого порядка методом Бернулли
Решение

Как обычно не задумываясь ни на секунду выполняем замену

Подставляем её в исходное дифференциальное уравнение

Не забываем вынести u за скобки, чтобы не нарушить алгоритм решения

Теперь необходимо найти функции u и v из полученного уравнения путём составления системы

Запускаем вычислительную машину для решения двух уравнений

1) Найдем v из v'-v=0

2) Подставим найденное во второе уравнение и наконец-таки найдём .

Итак мы получили и . Теперь достаточно записать ответ, что

Ответ

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ