ДУ с разделяющимися переменными: примеры решений

Дифференциальное уравнение вида:называют дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными. В данном разделе математики эти уравнения самые лёгкие в решении.

Для решения существует универсальный алгоритм: 

  1. Суть его состоит в том, чтобы обе части ду разделить на произведение функций, зависящих от разных переменных:
  2. Таким образом мы приводим исходное уравнение, заданное по условию, к виду:  
  3. Далее необходимо проинтегрировать обе части уравнения, из которых мы получим функцию y(x):

Примеры решений

Пример 1
Решить уравнение:
Решение

Решение как всегда начнем с анализа типа дифференциального уравнения. Данное уравнение попадает под определение ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. А значит, начнем действовать по алгоритму решения. Распишем подробно:

Далее разделим обе части уравнения на произведение двух функций:

Получаем,

Возьмем интеграл от обеих частей последнего равенства:

Используя формулы и методы интегрирования, получаем:

Общее решение:

Как видим ответ легко получен и записан в последней строчке.

Ответ
Пример 2
Решить ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:
Решение

Перенесем  первое слагагаемое, содержащее dx в правую часть для удобства решения: 

Разделим обе части на выражение:

Получаем:

Как положено алгоритмом возьмем интегралы:

Искомое решение:

Получаем ответ, в виде:

Ответ
Пример 3
Решить ДУ 1-го порядка разделяя переменные:
Решение

Решаем:

Ответ

 

Пример 4
Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными:
Решение

Решать начнем с того, что воспользуемся свойством:

Получаем,

Разделяем переменные,

Спокойно интегрируем уравнение,

Отсюда ответ,

Ответ

 

Пример 5
Решить задачу Коши:
Решение

Найдем для начала общее решение ДУ:

Отсюда получается общее решение:

Решить задачу Коши это значит, найти постоянную из дополнительного условия . Чтобы это проделать нужно подставить в общее решение и .

Теперь, подставляя найденное в общее решение, записываем ответ:

Ответ
Рекомендуем прочитать:
Метод Бернулли