Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Метод обратной матрицы (матричный способ)

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases}.$$

Метод обратной матрицы подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений в которых число строк совпадает с числом неизвестных переменных. Формула матричного метода выглядит следующим образом $$X = A^{-1} \cdot B$$

Здесь $A^{-1}$ - это обратная матрица к матрице $A$, составленной из коэфициентов $a_{ij}$ в системе уравнений. $B$ - это вектор свободных членов, взятых из системы $$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}.$$

Важное замечание! 
Для данного метода определитель матрицы $A$ не должен равняться нулю $det A \neq 0$, так как это условие для существования обратной матрицы $A^{-1}$.

Пример 1
Решить систему уравнений методом обратной матрицы $$\begin{cases} x_1+2x_2-x_3=2 \\ 2x_1-3x_2 + 2x_3 = 2 \\ 3x_1 + x_2 + x_3 = 8 \end{cases}.$$
Решение

Составляем матрицу $$A = \begin{pmatrix} 1&2&-1 \\ 2&-3&2 \\ 3&1&1 \end{pmatrix}.$$

Прежде чем искать обратную матрицу, необходимо вычислить определитель и проверить то, что он неравен нулю. $$det A = \begin{vmatrix} 1&2&-1 \\ 2&-3&2 \\ 3&1&1 \end{vmatrix} = -3+12-2-9-2-4=-8 \neq 0$$

Найдем обратную матрицу $A^{-1}$ с помощью единичной матрицы. Добавляем её к основной матрице сбоку.

$$\begin{pmatrix} 1&2&-1&|&1&0&0 \\ 2&-3&2&|&0&1&0 \\ 3&1&1&|&0&0&1 \end{pmatrix}$$

Выполняем элементарные преобразования со строками приводим матрицу $A$ слева к единичной, а справа получаем обратную матрицу.

Из второй строки вычитаем первую строчку, умноженную на 2. Из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 3. $$\begin{pmatrix} 1&2&-1&|&1&0&0 \\ 2&-3&2&|&0&1&0 \\ 3&1&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&-1&|&1&0&0 \\ 0&-7&4&|&-2&1&0 \\ 0&-5&4&|&-3&0&1 \end{pmatrix}$$

Умножаем третью строку на 7 и вычитаем из неё вторую строчку, умноженную на 5. $$\begin{pmatrix} 1&2&-1&|&1&0&0 \\ 0&-7&4&|&-2&1&0 \\ 0&0&8&|&-11&-5&7 \end{pmatrix}$$

Теперь запускаем обратный ход. Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё третью. Умножаем первую строку на 8 и прибавляем к ней третью. $$\begin{pmatrix} 8&16&0&|&-3&-5&7 \\ 0&-14&0&|&7&7&-7 \\ 0&0&8&|&-11&-5&7 \end{pmatrix}$$

Умножаем первую строчку на 14 и прибавляем к ней вторую строчку, умноженную на 16. $$\begin{pmatrix} 112&0&0&|&70&42&-14 \\ 0&-14&0&|&7&7&-7 \\ 0&0&8&|&-11&-5&7 \end{pmatrix}$$

Теперь делим кажду строку на элемент стоящий на главной диагонали левой матрицы, чтобы получилась единичная. Первую строку делим на 112, вторую на (-14) и третью на 8. $$\begin{pmatrix} 1&0&0&|&\frac{70}{112}&\frac{42}{112}&\frac{-14}{112} \\ 0&1&0&|&-\frac{7}{14}&-\frac{7}{14}&\frac{7}{14} \\ 0&0&1&|&-\frac{11}{8}&-\frac{5}{8}&\frac{7}{8} \end{pmatrix}$$

Итак, слева получилась обратная матрица $$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{70}{112}&\frac{42}{112}&\frac{-14}{112} \\ -\frac{7}{14}&-\frac{7}{14}&\frac{7}{14} \\ -\frac{11}{8}&-\frac{5}{8}&\frac{7}{8} \end{pmatrix}.$$

Теперь воспользуемся формулой $X = A^{-1} \cdot B$, чтобы найти $x_1,x_2,x_3$ и тем самым решить поставленную задачу. Производим умножение обратной матрицы на столбец свободных членов $$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{70}{112}&\frac{42}{112}&\frac{-14}{70} \\ -\frac{7}{14}&-\frac{7}{14}&\frac{7}{14} \\ -\frac{11}{8}&-\frac{5}{8}&\frac{7}{8} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\8 \end{pmatrix} =$$ Произведение ищем по правилу умножения двух матриц. Напоминаем, находим сумму произведения элементов строк на столбец. $$=\begin{pmatrix} \frac{2\cdot70}{112} + \frac{2\cdot42}{112} -\frac{8\cdot14}{112} \\ -\frac{2\cdot7}{14} - \frac{2\cdot7}{14} + \frac{8\cdot7}{14} \\ -\frac{2\cdot11}{8}  -\frac{2\cdot5}{8} + \frac{8\cdot7}{8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$x_1 = 1, x_2=2, x_3=3$$
Пример 2
Решить систему уравнений матричным методом $$\begin{cases} x_1+2x_2=10 \\ 3x_1+2x_2+x_3=23 \\ x_2+2x_3=13 \end{cases}.$$
Решение

Составляем матрицу из коэффициентов $$A = \begin{pmatrix} 1&2&0 \\ 3&2&1 \\ 0&1&2 \end{pmatrix}$$

Находим обратную матрицу с помощью единичной матрицы. $$\begin{pmatrix} 1&2&0 &|& 1&0&0 \\ 3&2&1 &|& 0&1&0 \\ 0&1&2 &|& 0&0&1 \end{pmatrix}$$

Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 3.  $$\begin{pmatrix} 1&2&0 &|& 1&0&0 \\ 0&-4&1 &|& -3&1&0 \\ 0&1&2 &|& 0&0&1 \end{pmatrix}$$

Умножаем третью строчку на 4 и прибавляем к ней вторую. $$\begin{pmatrix} 1&2&0 &|& 1&0&0 \\ 0&-4&1 &|& -3&1&0 \\ 0&0&9 &|& -3&1&4 \end{pmatrix}$$

Начинаем обратный ход элементарных преобразований. Умножаем вторую строку на 9 и вычитаем третью. $$\begin{pmatrix} 1&2&0 &|& 1&0&0 \\ 0&-36&0 &|& -24&8&-4 \\ 0&0&9 &|& -3&1&4 \end{pmatrix}$$

Умножаем первую строку на 18 и прибавляем к ней вторую. $$\begin{pmatrix} 18&0&0 &|& -6&8&-4 \\ 0&-36&0 &|& -24&8&-4 \\ 0&0&9 &|& -3&1&4 \end{pmatrix}$$

Остаётся получить единицы на главной диагонали. Для этого делим первую строку на 18, вторую на (-36) и третью 9. $$\begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -\frac{6}{18}&\frac{8}{18}&-\frac{4}{18} \\ 0&1&0 &|& \frac{24}{36}&-\frac{8}{36}&\frac{4}{36} \\ 0&0&1 &|& -\frac{3}{9}&\frac{1}{9}&\frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Итак, выписываем полученную обратную матрицу $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{6}{18}&\frac{8}{18}&-\frac{4}{18} \\ \frac{24}{36}&-\frac{8}{36}&\frac{4}{36} \\ -\frac{3}{9}&\frac{1}{9}&\frac{4}{9} \end{pmatrix}.$$

Теперь пользуйся формулой $X = A^{-1} \cdot B$ вычисляем $$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6}{18}&\frac{8}{18}&-\frac{4}{18} \\ \frac{24}{36}&-\frac{8}{36}&\frac{4}{36} \\ -\frac{3}{9}&\frac{1}{9}&\frac{4}{9} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10\\23\\13 \end{pmatrix} = $$

Умножение производится по правилу произведения двух матриц: сумма произведений элементов строк первой матрицы на элементы второй матрицы.

$$ = \begin{pmatrix} -\frac{6\cdot10}{18}+\frac{8\cdot23}{18}-\frac{4\cdot13}{18} \\ \frac{24\cdot10}{36}-\frac{8\cdot23}{36}+\frac{4\cdot13}{36} \\ -\frac{3\cdot10}{9}+\frac{23}{9}+\frac{4\cdot13}{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\3\\5 \end{pmatrix}$$

Вот таким вот образом матричный метод помогает решать системы линейных алгебраических уравнений. Главное не забывать что данный способ работает, если определитель матрицы $A$ не равен нулю и число переменных в системе совпадает с числом уравнений.

Ответ
$$x_1 = 4, x_2 = 3, x_3 = 5$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ