Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Метод Крамера для решения систем уравнений

Одним из методов решения систем линейных уравнений является метод Крамера. Используется для нахождения решения систем, в которых количество строк равно количеству неизвестных. То есть для квадратных систем уравнений. Основан он на вычислении определителей матрицы: основного и дополнительных, получающихся замещением одного из столбца основного определителя на столбец свободных членов системы алгебраических уравнений. Рассмотрим сам алгоритм метода Крамера и примеры с решением.

Дано СЛАУ $ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases} $

Найти неизвестные $ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} $

Алгоритм решения заключается в том, что  составляется из системы матрица $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $ и столбец свободных членов $ B = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} $

Далее вычисляется основной определитель матрицы $ \Delta = |A| $ и дополнительные $ \Delta_i $, получающиеся из основного определителя путем поочередного замещения столбцов на столбец свободных членов$ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} $

Если получается $ \Delta = 0 $, тогда система не может быть решена методом Крамера! 

В итоге по формуле метода Крамера находим неизвестные в системе линейных уравнений: $$ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} $$

Примеры с решением

Пример 1
Решить систему линейных уравнений методом Крамера: $$ \begin{cases} 3x_1+x_2+2x_3 = 4\\-x_1+2x_2-3x_3 = 1\\-2x_1+x_2+x_3=-2 \end{cases} $$
Решение

Составляем матрицу $ A = \begin{pmatrix} 3&1&2\\-1&2&-3\\-2&1&1 \end{pmatrix}  $ и выписываем столбец свободных членов $ b = \begin{pmatrix} 4\\1\\-2 \end{pmatrix} $

Вычисляем главный определитель матрицы:

$$ \Delta = |A| = \begin{vmatrix} 3&1&2\\-1&2&-3\\-2&1&1 \end{vmatrix} = 6 + 6 -2 +8 + 1 + 9 = 28 $$

Замечаем, что  $ \Delta = 28 \ne 0 $, то систему можно решить методом Крамера.

Вычисляем первый дополнительный определитель  $ \Delta_1 $. Подставляем столбец свободных членов $ b = \begin{pmatrix} 4\\1\\-2 \end{pmatrix} $ на место первого столбца в основной матрице:

$$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 4&1&2\\1&2&-3\\-2&1&1 \end{vmatrix} = 8 +6 +2 + 8 -1 +12 = 35 $$

Аналогично вычислим $ \Delta_2 $:

$$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 3&4&2\\-1&1&-3\\-2&-2&1 \end{vmatrix} = 3 + 24 + 4 +4 -18 +4 = 21 $$

Точно также находим $ \Delta_3 $:

$$ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 3&1&4\\-1&2&1\\-2&1&-2 \end{vmatrix} = -12 -2 -4 +16 -3 -2 = -7 $$

По формуле Крамера:

$$ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{35}{28} = \frac{5}{4} $$

$$ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} $$

$$ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-7}{28} = -\frac{1}{4} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ x_1 = \frac{5}{4}; x_2 = \frac{3}{4}; x_3 = -\frac{1}{4} $$
Пример 2

Решить систему уравнений методом Крамера:

$$ \begin{cases} x+y-2z = 2\\2x-3y-z = 1\\x-4y+z=3 \end{cases} $$

Решение

Попробуем  решить методом Крамера. Найдем основной определитель системы уравнений:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1&1&-2\\2&-3&-1\\1&-4&1 \end{vmatrix} = -3 -1 +16 -6 -4 -2 = 0 $$

Внимание! Получили $ \Delta = 0 $, а это означает, что данную систему нельзя решить методом Крамера. Алгоритм завершает  свою работу. Советуем воспользоваться другим методом для решения, например, матричным  методом или Гаусса.

Ответ
Метод Крамера нельзя применить к данной системе линейных уравнений

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Рекомендуем изучить по этой теме