Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Метод Гаусса

  1. Метод Гаусса
    1. Пример 1
    2. Пример 2
  2. Несовместность системы (нет решений)
    1. Пример 3
  3. Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
    1. Пример 4

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений: $$\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 \end{cases}. $$

  1. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы, состоящей из коэффициентов и столбца свободных членов. Вертикальная черта используется для удобства оформления. $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3 \end{pmatrix} $$
  2. С помощью элементарных преобразований матрицы (вычитание одной строки из другой, умноженной на коэффициент, удаление одинаковых и нулевых строк, деление строки на число отличное от нуля) получаем нули под главной диагональю $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \\ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 \end{pmatrix} $$
  3. Используя элементарные преобразования, изложенные в пункте 2, приводим матрицу к виду содержащему нули везде, кроме главной диагонали $$ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & | & b_1 \\ 0 & a_{22} & 0 & | & b_2 \\ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 \end{pmatrix} $$
Пример 1
Решить систему уравнений методом Гаусса $$\begin{cases} x_1 + 2 x_2 + x_3 = 5 \\ -x_1 + 3 x_2 -2 x_3 = 3 \\ - x_1 -7 x_2 + 4 x_3 = -5 \end{cases}. $$
Решение

Запишем расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных $x_1, x_2, x_3$ и отдельно столбец свободных членов $b_1, b_2, b_3$. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ -1 & 3 & -2 & | & 3 \\ -1 & -7 & 4 & | & -5 \end{pmatrix} $$

Приведем матрицу к нижнетреугольному виду (под главной диагональю должны быть нули) с помощью элементарных преобразований.

Прибавим ко второй строке первую. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 5 & -1 & | & 8 \\ -1 & -7 & 4 & | & -5 \end{pmatrix} $$

Далее прибавляем к третьей строке первую. $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 5 & -1 & | & 8 \\ 0 & -5 & 5 & | & 0 \end{pmatrix}$$

Теперь осталось к третьей строке прибавить вторую строку, чтобы под главной диагональю были только нули. $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 5 & -1 & | & 8 \\ 0 & 0 & 4 & | & 8 \end{pmatrix}$$

Замечаем, что в третьей строке стоят числа, которые можно сократить на четыре. Для этого выполняем деление всей третьей строки на 4. $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 5 & -1 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$

Теперь выполняем обратный ход Гаусса снизу вверх. Прибавляем ко второй строке третью строку. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 5 & 0 & | & 10 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$

Сразу замечаем, что вторую строку можно сократить на 5. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$

Продолжаем обратный ход, вычитаем третью строку из первой. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$

Осталось из первой строки вычесть вторую строку, умноженную на 2, для того, чтобы в первой строке появился ноль. $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$

Теперь перепишем получившуюся матрицу в виде системы уравнений, чтобы в дальнейшем получить чему равны неизвестные $x_1, x_2, x_3$. $$\begin{cases} x_1 = -1 \\ x_2 = 2 \\ x_3 = 2 \end{cases}$$

Ответ
$$x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 2$$

 

Пример 2
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса $$\begin{cases} 2x_1 + 5 x_2 + 4x_3 + x_4 = 20 \\ x_1 + 3 x_2 + 2x_3 +x_4 = 11 \\ 2x_1 +10 x_2 + 9 x_3 + 7x_4 = 40 \\ 3x_1 + 8x_2 + 9x_3 + 2x_4 = 37 \end{cases}. $$
Решение

Записываем расширенную матрицу $$ \begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \\ 1&3&2&1&|&11 \\ 2&10&9&7&|&40 \\ 3&8&9&2&|&37 \end{pmatrix}.$$

Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё первую строчку. Из третьей строки просто вычитаем первую. Умножаем четвертую строку на 2 и вычитаем из неё первую строку, умноженную на 3. Получаем матрицу $$\begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \\ 0&1&0&1&|&2 \\ 0&5&5&6&|&20 \\ 0&1&6&1&|&14 \end{pmatrix}.$$

Берем вторую строку, умноженную на 5 и вычитаем из третьей. Затем вторую строку вычитаем из четвертой. $$\begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \\ 0&1&0&1&|&2 \\ 0&0&5&1&|&10 \\ 0&0&6&0&|&12 \end{pmatrix}$$

Теперь умножаем третью строку на 6 и вычитаем её из четвертой строки, умноженной на 5. $$\begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \\ 0&1&0&1&|&2 \\ 0&0&5&1&|&10 \\ 0&0&0&-6&|&0 \end{pmatrix}$$

Получили нижнетреугольную матрицу, то есть ниже главной диагонали расположены нули. Теперь проделываем элементарные преобразования снизу вверх, так называемый обратный ход Гаусса. Но прежде замечаем, что появилась строка, в которой можно выполнить сокращение. А именно в четвертой строке можно разделить все числа на (-6). И получаем $$\begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \\ 0&1&0&1&|&2 \\ 0&0&5&1&|&10 \\ 0&0&0&1&|&0 \end{pmatrix}$$

Вот теперь вычитаем четвертую строчку из третьей, второй и первой. $$\begin{pmatrix} 2&5&4&0&|&20 \\ 0&1&0&0&|&2 \\ 0&0&5&0&|&10 \\ 0&0&0&1&|&0 \end{pmatrix}$$

Из второй строки мы не будем вычить третью, потому что там итак стоит ноль, ради которого мы проводим элементарные преобразования, поэтому пропускаем этот шаг. 

Умножаем на 4 третью строку и вычитаем её из первой, умноженной на 5. $$\begin{pmatrix} 10&25&0&0&|&60 \\ 0&1&0&0&|&2 \\ 0&0&5&0&|&10 \\ 0&0&0&1&|&0 \end{pmatrix}$$

Замечаем, что в первой строке можно все числа сократить на 5. $$\begin{pmatrix} 2&5&0&0&|&12 \\ 0&1&0&0&|&2 \\ 0&0&5&0&|&10 \\ 0&0&0&1&|&0 \end{pmatrix}$$

Теперь остался последний шаг это умножить вторую строку на 5 и вычесть из первой. $$\begin{pmatrix} 2&0&0&0&|&2 \\ 0&1&0&0&|&2 \\ 0&0&5&0&|&10 \\ 0&0&0&1&|&0 \end{pmatrix}$$

Замечаем, что первую строку можно сократить на 2, а третью строку на 5. $$\begin{pmatrix} 1&0&0&0&|&1 \\ 0&1&0&0&|&2 \\ 0&0&1&0&|&2 \\ 0&0&0&1&|&0 \end{pmatrix}$$

Переписываем матрицу в виде привычной системы уравнений и получаем ответ $$\begin{pmatrix} 1&0&0&0&|&1 \\ 0&1&0&0&|&2 \\ 0&0&1&0&|&2 \\ 0&0&0&1&|&0 \end{pmatrix} \sim \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = 2 \\ x_3 = 2 \\ x_4 = 0 \end{cases}.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 2, x_4 = 0$$

Несовместность системы (нет решений)

Если в результате элементарных преобразований появилась нулевая строка вида $$\begin{pmatrix} 0&0&0&|&b \end{pmatrix} \text{ где } b \neq 0,$$то система уравнений не имеет решений. На этом алгоритм Гаусса заканчивает свою работу и можно записывать ответ, что система несовместна, то есть нет решений. 

Пример 3
Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса $$\begin{cases} 7x_1 - 2x_2 - x_3 = 2 \\ 6x_1 - 4x_2 - 5x_3 = 3 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 5 \end{cases}.$$
Решение

Как обычно пишем расширенную матрицу по коэффициентам при неизвестных переменных и столбцу свободных членов $$\begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \\ 6&-4&-5&|&3 \\ 1&2&4&|&5 \end{pmatrix}.$$

Запускаем алгоритм Гаусса. Идём сверху вниз. Умножаем вторую строку на 7 и вычитаем из неё первую строчку умноженную на 6. Затем первую строку вичитаем из третьей, умноженной на 7. $$\begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \\ 0&-16&-29&|&9 \\ 0&16&29&|&33 \end{pmatrix}$$

Далее по алгоритму прибавляем вторую строку к третьей. $$\begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \\ 0&-16&-29&|&9 \\ 0&0&0&|&42 \end{pmatrix}$$

Видим, что в результате элементарных преобразований появилась строка в которой все нули, кроме свободного члена. Это означает, что система несовместа, то есть у системы уравнений нет решения.

Ответ
Нет решений, так как система несовместна.

Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений) 

Часто после элементарных преобразований в расширенной матрице появляются нулевые строки вида $$\begin{pmatrix} 0&0&0&|&0 \end{pmatrix}.$$ Такую строку нужно вычеркивать из матрицы и система уравнений будет иметь бесконечное множество решений. Разберем это на практике.

Пример 4
Найти общее и два частных решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса $$\begin{cases} x_1+x_2-x_3=4 \\ 3x_1+2x_2-5x_3=7 \\ 3x_1+x_2-7x_3=2 \end{cases}.$$
Решение

Составляем расширенную матрицу $$\begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \\ 3&2&-5&|&7 \\ 3&1&-7&|&2 \end{pmatrix}.$$

Из второй и третьей строки вычетаем первую, умноженную на 3. $$\begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \\ 0&-1&-2&|&-5 \\ 0&-2&-4&|&-10 \end{pmatrix}$$

Из третьей строки вычитаем вторую, домноженную на 2. $$\begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \\ 0&-1&-2&|&-5 \\ 0&0&0&|&0 \end{pmatrix}$$

Теперь согласно обратному ходу Гаусса вторую строку прибавляем к первой. $$\begin{pmatrix} 1&0&-3&|&-1 \\ 0&-1&-2&|&-5 \\ 0&0&0&|&0 \end{pmatrix}$$

По окочанию элементарных преобразований получилась строка, в которой все элементы равны нулю. Значит, система имеет бесконечное множество решений. Для его записи понадобится отличать базисные и свободные переменные. Обычно за базисные берут переменные, которые стоят на главной диагонали, а остальные свободные. В нашем случае базисными будут $x_1, x_2$, а свободной $x_3$.

Переписываем матрицу в виде системы $$\begin{pmatrix} 1&0&-3&|&-1 \\ 0&-1&-2&|&-5 \\ 0&0&0&|&0 \end{pmatrix} \sim \begin{cases} x_1-3x_3 = -1 \\ -x_2-2x_3 = -5 \end{cases}.$$

Так как $x_1, x_2$ являются базисными переменными, то их переносим в левую часть равенства, а всё остальное в правую часть. Получившееся называют общим решением решением системы уравнений $$\begin{cases} x_1-3x_3 = -1 \\ -x_2-2x_3 = -5 \end{cases} \sim \begin{cases} x_1 = 3x_3-1 \\ x_2 = 5-2x_3 \end{cases}.$$

Чтобы получить частное решение системы уравнений нужно вместо свободного $x_3$ подставить любое число, например $x_3 = 0$. Тогда получаем, что $$\begin{cases} x_1 = -1 \\ x_2 = 5 \end{cases}.$$ Возьмем ещё например $x_3 = 1$ и получаем $$\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 3 \end{cases}.$$

Можно брать различные числа вместо $x_3$ и получать бесконечное множество решений.

Ответ

Общее решение системы уравнений $$\begin{cases} x_1 = 3x_3-1 \\ x_2 = 5-2x_3 \end{cases}.$$

Частные решения системы уравнений $$\begin{cases} x_1 = -1 \\ x_2 = 5 \end{cases}, \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 3 \end{cases}.$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ