Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Исследовать систему уравнений на совместность

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33} x_3 = b_3 \end{cases}$$

Система линейных уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение.

Обозначим буквой $A$ матрицу системы, а расширенную матрицу (содержащую столбец свободных членов системы) обозначим $(A|B)$. Буквой $n$ обозначим количество неизвестных переменных в системе линейных алгебраических уравнений. В данном случае $n=3$, так как максимальный индекс у икса равен трем. $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, (A|B) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &|& b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &|& b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &|& b_3 \end{pmatrix}$$

Для установления совместности и количестве решений нужно использовать следствие из теоремы Кронекера-Капелли:

  1. если $rang A \neq rang (A|B)$, то система уравнений несовместна (нет решений)
  2. если $rang A = rang (A|B) = n$, то система уравнений совместна и имеет одно решение
  3. если $rang A = rang (A|B) < n$, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Пример 1
Исследовать систему уравнений на совместность $$\begin{cases} x_1+x_2-x_3=-4 \\ x_1+2x_2-3x_3=0 \\ -2x_1-2x_3=3 \end{cases}$$
Решение

Первым делом составляем расширенную матрицу системы $$(A|B) = \begin{pmatrix} 1&1&-1 &|& -4 \\ 1&2&-3 &|& 0 \\ -2&0&-2 &|& 3 \end{pmatrix}.$$ Теперь необходимо найти ранг матриц $A$ и $(A|B)$. Для этого выполняем элементарные преобразования над матрицей $(A|B)$ и заодно увидим ранг матрицы $A$.

Вычитаем первую строку из второй строки. Прибавляем к третьей строке первую, умноженную на 2. $$\begin{pmatrix} 1&1&-1 &|& -4 \\ 0&1&-2 &|& 4 \\ 0&2&-4 &|& -5 \end{pmatrix}$$

Из третьей строки вычитаем вторую, умноженную на 2. $$\begin{pmatrix} 1&1&-1 &|& -4 \\ 0&1&-2 &|& 4 \\ 0&0&0 &|& -13 \end{pmatrix}$$

Матрица приведена к ступенчатому виду. Теперь определяем ранги двух матриц. Видим, что третья строка матрицы $A$ полностью нулевая, остаются только две ненулевые строки. Значит $rang A = 2$. У матрицы $(A|B)$ в третьей строке есть один элемент отличный от нуля и тем самым строка ненулевая. Значит, $rang (A|B) = 3$.

Таким образом по следствию из теоремы Кронекера-Капелли делаем вывод, что $rang A \neq rang (A|B)$, значит система уравнений несовместна, то есть не имеет решений.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
СЛАУ не совместна
Пример 2
Исследовать систему на совместность и установить количество решений $$\begin{cases} 2x_1-x_2+x_3=5 \\ x_1+2x_2-2x_3=-6 \\ 3x_1+x_2-x_3=-1 \end{cases}.$$
Решение

Записываем расширенную матрицу по данной СЛАУ $$(A|B)=\begin{pmatrix} 2&-1&1 &|& 5 \\ 1&2&-2 &|& -6 \\ 3&1&-1 &|&-1 \end{pmatrix}.$$Приводим матрицу к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками.

Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё первую. Умножаем третью строку на 2 и вычитаем из неё первую, умноженную на 3. $$\begin{pmatrix} 2&-1&1 &|& 5 \\ 0&5&-5 &|& -17 \\ 0&5&-5 &|& -17 \end{pmatrix}$$

Видим, что третья строка точно такая же как вторая. Значит, её можно вычеркнуть. $$\begin{pmatrix} 2&-1&1 &|& 5 \\ 0&5&-5 &|& -17 \end{pmatrix}$$ Теперь определяем ранг двух матриц по количеству ненулевых строк. Конкретно говоря, $rang A = rang (A|B) = 2$. Значит, система совместна. Но так как количество неизвестных переменных 3 штуки $(x_1, x_2, x_3)$ и $rang = 2 < 3$, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений.

Ответ
СЛАУ совместна и имеет бесконечное множество решений.
Пример 3
Исследовать совместность и решить систему уравнений $$\begin{cases} 2x_1+3x_2+11x_3+5x_4=2 \\ x_1 + x_2 + 5x_3 + 2x_4 = 1 \\ 2x_1+x_2+3x_3+2x_4=-3 \\ x_1+x_2+3x_3+4x_4=-3 \end{cases}.$$
Решение

Сначала исследуем совместность и установим количество решений, а затем найдём сами решения с помощью метода Гаусса. Записываем расширенную матрицу $$\begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \\ 1&1&5&2 &|& 1 \\ 2&1&3&2 &|& -3 \\ 1&1&3&4 &|& -3 \end{pmatrix}.$$

Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё первую. Из третьей строки вычитаем первую. Умножаем четвертую строку на 2 и вычитаем от неё первую. $$\begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \\ 0&-1&-1&-1 &|& 0 \\ 0&-2&-8&-3 &|& -5 \\ 0&-1&-5&3 &|& -8 \end{pmatrix}$$

Из третьей строки вычитаем вторую, умноженную на 2. Из четвертой строчки вычитаем вторую. $$\begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \\ 0&-1&-1&-1 &|& 0 \\ 0&0&-6&-1 &|& -5 \\ 0&0&-4&4 &|& -8 \end{pmatrix}$$

Умножим четвертую строчку на 6 и вычтем из неё третью, умноженную на 4. $$\begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \\ 0&-1&-1&-1 &|& 0 \\ 0&0&-6&-1 &|& -5 \\ 0&0&0&28 &|& -28 \end{pmatrix}$$ Разделим четвертую строку на 28 для дальнейшего удобства избавившись от крупных чисел.$$\begin{pmatrix} 2&3&11&5 &|& 2 \\ 0&-1&-1&-1 &|& 0 \\ 0&0&-6&-1 &|& -5 \\ 0&0&0&1 &|& -1 \end{pmatrix}$$

Итак, матрица приведена к ступенчатой форме или как называют треугольный вид. Сделано это для того, чтобы определить ранг матрицы $A$ и её расширенной $(A|B)$. Подсчитываем количество ненулевых строк в обеих матрицах и получаем, что $rang A = rang (A|B) = 4$. Это означает по следствию теоремы Кронекера-Капелли, что СЛАУ совместна и имеет при этом одно решение.

По условию задачи требуется найти решение системы уравнений. Это означает, что нужно продолжить ход Гаусса в обратном направлении, чтобы найти $x_1,x_2,x_3, x_4$. Если бы в условии задачи это не было сказано, то это не потребовалось бы сделать и достаточно записать ответ о совместности системы. Продолжаем вычисления...

Из первой строки вычитаем четвертую, умноженную на 5. Ко второй строке прибавляем четвертую. К третьей строке прибавляем четвертую. $$\begin{pmatrix} 2&3&11&0 &|& 7 \\ 0&-1&-1&0 &|& -1 \\ 0&0&-6&0 &|& -6 \\ 0&0&0&1 &|& -1 \end{pmatrix}$$Сразу делим третью строку на -6 для сокращения строки. $$\begin{pmatrix} 2&3&11&0 &|& 7 \\ 0&-1&-1&0 &|& -1 \\ 0&0&1&0 &|& 1 \\ 0&0&0&1 &|& -1 \end{pmatrix}$$

Ко второй строке прибавляем третью. Из первой строки вычитаем третью, умноженную на 11. $$\begin{pmatrix} 2&3&0&0 &|& -4 \\ 0&-1&0&0 &|& 0 \\ 0&0&1&0 &|& 1 \\ 0&0&0&1 &|& -1 \end{pmatrix}$$

К первой строке прибавляем вторую строчку, умноженную на 3. $$\begin{pmatrix} 2&0&0&0 &|& -4 \\ 0&-1&0&0 &|& 0 \\ 0&0&1&0 &|& 1 \\ 0&0&0&1 &|& -1 \end{pmatrix}$$Делим первую строку на 2. Умножаем вторую строчку на (-1). $$\begin{pmatrix} 1&0&0&0 &|& -2 \\ 0&1&0&0 &|& 0 \\ 0&0&1&0 &|& 1 \\ 0&0&0&1 &|& -1 \end{pmatrix}$$

Таким образом отсюда получаем решение системы линейных уравнений $$\begin{bmatrix} x_1=-2 \\ x_2=0 \\ x_3=1 \\ x_4=-1 \end{bmatrix}.$$

Ответ
$$x_1=-2, x_2=0, x_3=1, x_4=-1$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Рекомендуем изучить по этой теме