Исследовать систему уравнений на совместность
$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33} x_3 = b_3 \end{cases}$$
Система линейных уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение.
Обозначим буквой $A$ матрицу системы, а расширенную матрицу (содержащую столбец свободных членов системы) обозначим $(A|B)$. Буквой $n$ обозначим количество неизвестных переменных в системе линейных алгебраических уравнений. В данном случае $n=3$, так как максимальный индекс у икса равен трем. $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, (A|B) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &|& b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &|& b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &|& b_3 \end{pmatrix}$$
Для установления совместности и количестве решений нужно использовать следствие из теоремы Кронекера-Капелли:
- если $rang A \neq rang (A|B)$, то система уравнений несовместна (нет решений)
- если $rang A = rang (A|B) = n$, то система уравнений совместна и имеет одно решение
- если $rang A = rang (A|B) < n$, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
| Пример 1 |
| Исследовать систему уравнений на совместность $$\begin{cases} x_1+x_2-x_3=-4 \\ x_1+2x_2-3x_3=0 \\ -2x_1-2x_3=3 \end{cases}$$ |
| Решение |
|
Первым делом составляем расширенную матрицу системы $$(A|B) = \begin{pmatrix} 1&1&-1 &|& -4 \\ 1&2&-3 &|& 0 \\ -2&0&-2 &|& 3 \end{pmatrix}.$$ Теперь необходимо найти ранг матриц $A$ и $(A|B)$. Для этого выполняем элементарные преобразования над матрицей $(A|B)$ и заодно увидим ранг матрицы $A$. Вычитаем первую строку из второй строки. Прибавляем к третьей строке первую, умноженную на 2. $$\begin{pmatrix} 1&1&-1 &|& -4 \\ 0&1&-2 &|& 4 \\ 0&2&-4 &|& -5 \end{pmatrix}$$ Из третьей строки вычитаем вторую, умноженную на 2. $$\begin{pmatrix} 1&1&-1 &|& -4 \\ 0&1&-2 &|& 4 \\ 0&0&0 &|& -13 \end{pmatrix}$$ Матрица приведена к ступенчатому виду. Теперь определяем ранги двух матриц. Видим, что третья строка матрицы $A$ полностью нулевая, остаются только две ненулевые строки. Значит $rang A = 2$. У матрицы $(A|B)$ в третьей строке есть один элемент отличный от нуля и тем самым строка ненулевая. Значит, $rang (A|B) = 3$. Таким образом по следствию из теоремы Кронекера-Капелли делаем вывод, что $rang A \neq rang (A|B)$, значит система уравнений несовместна, то есть не имеет решений. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| СЛАУ не совместна |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ