Метод контурных токов

Метод контурных токов является одним из основных методов расчета электрических цепей и широко используется в электротехнике и электронике. Он позволяет уменьшить число уравнений по сравнению с методом законов Кирхгофа, что позволяет упростить вычисления и добиться результата меньшими усилиями.

Контурный ток - это ток, который протекает в каждом независимом контуре электрической цепи. Независимые контуры - это контуры, в которых есть хотя бы одна ветвь не входящая в другие контуры.

Алгоритм составления уравнений

1. Вводятся контурные токи $I_{kk}$, где $k$ равно количеству независимых контуров. Число контурных токов определяется, как разность числа ветвей и числа узлов и плюс единица, по формуле: $$N_{KT} = N_B - N_y + 1$$
2. Уравнение составляется для каждого независимого контура в виде: $$I_{kk} \sum R_{kk} + I_{mm} R_{km} = \sum E_{kk}$$
   где $I_{kk}$ контурный ток $k$-го контура; $R_{kk}$ - собственное сопротивление $k$-го контура (сумма всех сопротивлений этого контура); $R_{mk}$ - сопротивления, входящие одновременно в соседние контуры $k$ и $m$; $I_{mm}$ - контурный ток для контура $m$; $\sum E_{kk}$ - сумма источников ЭДС, входящих в контур $k$.
   Если направления токов $I_{mm}$ и $I_{kk}$ совпадают на общем сопротивлении $R_{mk}$, то перед слагаемым $R_{mk} I_{mm}$ берется знак "+". В противном случае знак "-".
3. Решаются уравнения и находятся контурные токи
4. Токи в ветвях находятся, как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в соответствующих ветвях

Метод контурных токов не всегда может быть применим для расчета сложных электрических цепей из-за большого количества уравнений и сложности их решения. В таких случаях используются другие методы, например, метод узловых напряжений.

Примеры решения задач

---

Решение. Расставим токи в ветвях электрической цепи в произвольном направлении. Отметим контурные токи и выберем направления. Их количество вычисляется по формуле:

$$N_{kk} = N_B - N_y + 1 = 6 - 4 + 1 = 3$$

Теперь составим уравнение для первого контура. Обратите внимание, что первый контур не имеет общего сопротивления с третьим контуром. Поэтому в уравнении отсутствует $I_{33}$.

$$I_{11} (R_1+R_4+R_5) - I_{22}R_4 = -E_1$$

Второй контур имеет общее сопротивление с первым контуром, поэтому $I_{22}$ включаем в уравнение. С третьим контуром нет общего сопротивления, значит, $I_{33}$ не будем включать.

$$I_{22}(R_2+R_3+R_4) - I_{11}R_4 = - E_2$$

Третий контур не имеет общих сопротивлений с первым и вторым контуром. Значит, $I_{11}$ и $I_{22}$ будет отсутствовать в третьем уравнении.

$$I_{33}R_6 = E_1 + E_2$$

В итоге получили систему уравнений.

$$\begin{cases} I_{11} (R_1+R_4+R_5) - I_{22}R_4 = -E_1 \\ I_{22}(R_2+R_3+R_4) - I_{11}R_4 = - E_2 \\ I_{33}R_6 = E_1 + E_2 \end{cases}$$

Решая эту систему уравнений получаем контурные токи: $I_{11}$, $I_{22}$,$I_{33}$.

Зная контурные токи, можем получить искомые токи в ветвях. Так как токи $I_5$, $I_3$, $I_6$ текут только в одних независимых контурах, то они равны контурным токам.

$$I_5 = I_{11}; I_3 = I_{22}; I_6 = I_{33}$$

Другие токи будут равны алгебраической сумме контурных токов. Знак плюс ставится если направление тока совпадает с контурным током, в противном случае минус.

$$I_1 = I_{33}-I_{11}$$ $$I_2 = I_{33}-I_{22}$$ $$I_4=I_{11}-I_{22}$$

Таким образом мы нашли токи во всех ветвях цепи с помощью метода контурных токов.

---

Решение. В схеме три ветви. Расставим в каждой из них токи в произвольном направлении. И заодно укажем контурные токи по часовой стрелке. Их число вычисляется по формуле: $N_{kk} = N_{B} - N_y + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$.

Составляем систему уравнений для каждого контура.
$$\begin{cases} I_{11}(R_2+R_3) - I_{22} R_3 = E_2 \\ I_{22} (R_3+R_1) - I_{11}R_3 = -E_1 \end{cases}$$

Подставляем известные данные из условия задачи в систему.

$$\begin{cases} I_{11}(1.4+0.8) - I_{22} 0.8 = 5 \\ I_{22} (0.8 + 2.4) - I_{11} 0.8 = -10 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2.2 I_{11} - 0.8 I_{22} = 5 \\ 3.2 I_{22} - 0.8 I_{11} = -10 \end{cases}$$

Решаем систему уравнений любым способом. Получаем:

$$I_{11} = 1.25 A; I_{22} = -2.813 A$$

Так как ток $I_2$ принадлежит только первому контуру $I_{11}$, а ток $I_1$ принадлежит контуру $I_{22}$, то получаем что они соотвественно равны. Не забываем соблюдать направление токов и контуров.

$$I_2 = I_{11} = 1.25 A; I_1 = -I_{22} = 2.813 A$$

Ток $I_3$ будет получен с помощью сложения суммы контурных токов с учетом направления.

$$I_3 = I_{11} - I_{22} = 1.25 A + 2.813 A = 4.063 A$$

Ответ: $I_1 = 2.813 A; I_2 = 1.25 A; I_3 = 4.063 A$