Метод эквивалентного генератора

Задача 1. Определить ток $I_1$ методом эквивалентного генератора. $R_1 = 1, R_2 = 3, R_3 = 5, R_4 = 7, R_5 = 9, R_6 = 11, E_1 = 10, E_2 = 80, E_3 = 20$

Решение.

Определим напряжение холостого хода генератора, относительно узлов 1 и 2. Для этого рассчитаем токи в схеме эквивалентного генератора методом контурных токов: $$I_{22xx}(R_2+R_3+R_5)-I_{33xx}R_5=E_2$$ $$I_{33xx}(R_4+R_5+R_6)-I_{22xx}R_5 = E_4$$ Получили систему уравнений: $$\begin{cases} I_{22xx}(R_2+R_3+R_5)-I_{33xx}R_5=E_2 \\ -I_{22xx}R_5 + I_{33xx}(R_4+R_5+R_6) = E_4 \end{cases}$$ Решаем в MathCADе: $$\begin{pmatrix} R2+R3+R5 & -R5 \\ -R5 & R4+R5+R6 \end{pmatrix}, Bx:=\begin{pmatrix} E2\\E4 \end{pmatrix}$$ $$Ax=\begin{pmatrix} 17&-9 \\ -9&27 \end{pmatrix}, Bx=\begin{pmatrix} 80\\20 \end{pmatrix}$$ $$Ix:=Ax^{-1}\cdot Bx, Ix = \begin{pmatrix} 6.1905 \\ 2.8042 \end{pmatrix}$$ $$I_{22xx}=6.1905A; I_{33xx} = 2.8042A$$

Нужные нам токи: $$I_{2xx} = I_{22xx} = 6.1905A; I_{4xx} = I_{33xx} = 2.8042A$$

Напряжение холостого хода: $$U_{XX} = E_4-I_{2xx}R_3 - I_{4xx}R_4 = $$ $$=20-6.1905\cdot5-2.8042\cdot7 = -30.582 \text{B}$$

Определим внутренее сопротивление эквивалентного генератора:

Заменим треугольник сопротивлений $R_4-R_5-R_6$ на эквивалентную звезду: $$R_{45} = \frac{R_4\cdot R_5} {R_4+R_5 + R_6} = \frac{7\cdot9}{7+9+11} = 2.3333 \text{Ом}$$ $$R_{46} = \frac{R_4\cdot R_6}{R_4+R_5+R_6} = \frac{7\cdot11}{7+9+11} = 2.8519 \text{Ом}$$ $$R_{56} = \frac{R_5\cdot R_6}{R_4+R_5+R_6} = \frac{9\cdot11}{7+9+11} = 3.6667 \text{Ом}$$

Тогда внутреннее сопротивление: $$R_{\text{экв}} = R_{46} + \frac{(R_3+R{45})\cdot(R_2+R_{56})}{R_3+R_{45}+R_2+R_{56}} = $$ $$=2.8519 + \frac{(5+2.3333)\cdot(3+3.6667)}{5+2.3333+3+3.6667} = 6.3439 \text{Ом}$$

Тогда искомый ток: $$I_1 = \frac{U_{XX} + E_1}{R_{\text{экв}}+R_1} = \frac{-30.582 + 10}{6.3439+1} = -2.8026A$$