Производная показательной функции
Производная показательной функции равна этой же показательной функции, умноженной на натуральный логарифм основания степени функции: $$ (a^x)' = a^x \ln a $$
Найти производную показательной функции: $ y = 3^x $
Итак, производная показательной функции равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм основания степени. В нашем случае основание $ a = 3 $:
$$ y' = (3^x)' = 3^x \ln 3 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ y' = 3^x \ln 3 $$
Найти производную сложной показательной функции: $ y = 2^{\sin x} $
Основание степени равно $ a = 2 $. Но в показателе степени стоит функция, отличная от $ x $. Поэтому функция является сложной. Кроме взятия производной показательной функции нужно еще умножить полученный результат на производную показателя степени:
$$ y' = (2^{\sin x})' = 2^{\sin x} \ln 2 \cdot (\sin x)' = 2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x $$
$$ y' = 2^{\sin x} \cos x \ln 2 $$
Найти производную сложной показательной функции $ y = \sin 3^x $
Функция является сложной: синус от показательной функции. Сначала находим производную внешней, а затем внутренней части:
$$ y' = (\sin 3^x)' = \cos 3^x \cdot (3^x)' = \cos 3^x \cdot 3^x \ln 3 $$
$$ y' = 3^x \ln 3 \cos 3^x $$