Производная сложной функции
Производная сложной функции — один из ключевых элементов дифференциального исчисления. В этой статье мы разберем методы нахождения производных сложных функций с подробными примерами и пояснениями.
Сложная функция — это функция, которая представляет собой композицию двух или более функций. Математически записывается как $y=f(g(x))$.
Формула
Производная сложной функции находится по формуле: $$ (f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Сначала берем производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента, то есть по цепочке.
Алгоритм поиска
- Определение внутренней и внешней функций
- Нахождение производной внешней функции
- Вычисление производной внутренней функции
- Применение правила цепочки
- Упрощение результата
Примеры решений
Найти производную сложной функции $ y = \sqrt{x^2+1} $
Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции:
$$ y'=( \sqrt{x^2+1} )'= $$
$$ =\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)'= $$
$$ =\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$
Вычислить производную сложной функции $ y = e^{4x+3} $
Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента:
$$ y'=(e^{4x+3})' = e^{4x+3} \cdot (4x+3)' = $$
$$ = e^{4x+3} \cdot 4 = 4e^{4x+3} $$
$$ y' = 4e^{4x+3} $$
Решить производную сложной функции: $ y = \arctan x^2 $
Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции:
$$ y' = (\arctan x^2)' = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x^2)' = $$
$$ = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4} $$
$$ y' = \frac{2x}{1+x^4} $$
Найдите производную от сложной функции: $ y = \ln(x^3+2) $
Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем:
$$ y' = (\ln(x^3+2))' = \frac{1}{x^3+2} \cdot (x^3+2)' = $$
$$ = \frac{1}{x^3+2} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3+2} $$
$$ y' = \frac{3x^2}{x^3+2} $$
Найти производную от сложной функции: $ y = \ln(\sin^3x+ e^{\cos x}) $
Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем:
$$ y' = ( \ln(\sin^3x+e^{\cos x}) )' = $$
$$ =\frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot (\sin^3x+e^{\cos x})' = $$
Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:
$$ =\frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot ( (\sin^3x)'+(e^{\cos x})') = $$
Первая функция $ (\sin^3x)' $ - это производная от сложной функции:
$$ (\sin^3x)' = 3\sin^2x \cdot (\sin x)' = 3\sin^2x \cos x $$
Вторая функция $ (e^{\cos x})' $ - это производная сложной функции:
$$ (e^{\cos x})' = e^{\cos x} \cdot (\cos x)' = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) $$
Продолжаем нахождение производной исходной функции:
$$ = \frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot (3\sin^2x \cos x - e^{\cos x} \sin x) $$
$$ y' = \frac{3\sin^2x \cos x - e^{\cos x} \sin x}{\sin^3x+e^{\cos x}} $$