Производная суммы функций
Производная суммы функций равна сумме производных каждой из функций: $$ (u+v)'=u'+v' $$
В формуле стоит только два слагаемых, но она работает и в случае более двух, например:
$$ (u+v+g)'=u'+v'+g' $$
Найти производную суммы $ y = x^2+4x+3 $
Многочлен представляет собой сумму трёх функций. Тогда его производная по правилу производной суммы есть сумма производных от функций:
$$ y' = (x^2+4x+3)' = (x^2)'+(4x)'+(3)' $$
Производная от первого слагаемого находится по правилу степенной функции $ (x^p)'=px^{p-1}$:
$$ (x^2)' = 2x $$
Чтобы найти производную второго слагаемого необходимо сначала вынести константу за знак производной по правилу $ (cx)'=c(x)' $. Тогда как производная $ (x)'=1 $:
$$ (4x)'=4(x)'=4 $$
Третье слагаемое представляет собой константу, производная которой всегда равна нулю:
$$ (3)'=0 $$
В итоге записываем решение:
$$ y'=(x^2+4x+3)'=(x^2)'+(4x)'+(3)'=2x+4+0=2x+4 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ y'=2x+4 $$
Найти производную суммы двух функции $ y = x^3+\sin x $
Находим производные каждого из слагаемых отдельно друг от друга:
$$ y'=(x^3+\sin x)'=(x^3)'+(\sin x)' $$
Первая функция является степенной и её производная отыскивается по правилу $ (x^p)'=px^{p-1} $:
$$ (x^3)'=3x^2 $$
Вторая функция представляет собой синус, производная которого равна $ (\sin x)'=\cos x $:
$$ y'=(x^3+\sin x)' = (x^3)'+(\sin x)'=3x^2 + \cos x $$
$$ y'=3x^2+\cos x $$