Пределы со степенями
Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:
- Показательная функция
$$\lim\limits_{x\to a} a^{f(x)} = a^{\lim\limits_{x\to a} f(x)} $$ - Степенная функция
$$ \lim\limits_{x\to a} (f(x))^a = \bigg(\lim\limits_{x\to a} f(x) \bigg)^a $$ - Показательно-степенная функция
$$\lim\limits_{x\to a} \bigg(f(x)\bigg)^{g(x)} = \lim\limits_{x\to a} \frac{\ln(f(x))}{\frac{1}{g(x)}} $$
Найти предел показательной функции $\lim\limits_{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}}$
Подставив точку $x=2$ в предел получим неопределенность $2^{\big(\frac{0}{0}\big)}$. Итак, перенесем знак предела в показатель и попробуем его вычислить путем разложения числителя по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$$\lim\limits_{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}} = 2^{\lim\limits_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}} = $$
Сокращаем числитель со знаменателем на $x-2$ и вычисляем предел степени.
$$ =2^{\lim\limits_{x\to 2} (x+2)} = 2^{2+2} = 2^4 = 16 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$\lim\limits_{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}} = 16$$
Решить предел степенной функции $\lim\limits_{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3$
Внесем знак предела внутрь скобок, а степень останется при этом снаружи.
$$\lim\limits_{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = \bigg(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = $$
При подстановке точки $x=0$ в предел получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Для её устранения воспользуемся таблицей эквивалентностей пределов.
$$\sin x^2 \sim x^2$$ $$ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$$
Подставляем эквивалентные функции в предел и сокращаем $x$.
$$ = \bigg(\lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}}\bigg)^3 = \bigg(\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2} \bigg)^3 = 2^3 = 8$$
$$\lim\limits_{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = 8$$
Вычислить предел показательно-степенной функции $\lim\limits_{x\to 0} (tg x)^{\sin x} $
Если подставим $x=0$, то получим предел ноль в степени ноль $(0^0)$. Превратим это в другую неопределенность $(\frac{\infty}{\infty})$ с помощью третьей формулы.
$$\lim\limits_{x\to 0} (tg x)^{\sin x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln (tg \;x)}{\frac{1}{\sin x}} = \frac{\infty}{\infty} = $$
Используем правило Лопиталя для продолжения решения. По нему, как известно, предел отношения функций равен пределу отношения производных от этих функций.
$$ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{(\ln (tg \;x))'}{(\frac{1}{\sin x})'} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{tg \;x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = $$
Преобразуем числитель в нормальный вид с помощью формулы $tg \; x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и выполняем все необходимые сокращения.
$$ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = -\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{\cos^2 x} = $$
Теперь подставляя точку $x=0$ возможно получить окончательный ответ.
$$ = - \frac{\sin 0}{\cos^2 x} = -\frac{0}{1} = 0 $$
$$\lim\limits_{x\to 0} (tg x)^{\sin x} = 0$$