Возведение в степень комплексных чисел
Методы возведения в степень
Алгебраическая форма
Если число записано в виде $z = a+bi$, возведение в степень $n$ производится по формуле: $$z^n = (a+bi)^n$$
Тригонометрическая форма
При записи числа в виде $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ используется формула Муавра:
$$ z^n = r^n (\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$$
Показательная форма
Для записи $z = re^{i\varphi}$ применяется формула:
$$ z^n = r^n e^{in\varphi} $$
Пошаговый алгоритм решения
- Приведение к нужному виду
- Применение формулы
- Преобразование результата
Возвести комплексное число в квадрат $$ z = \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{2}i} $$
Используя формулу для показательной формы возводим в квадрат модуль и экспоненту:
$$ z^2 = (\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{2}i})^2 = (\sqrt{2})^2 (e^{\frac{\pi}{2}i})^2 = $$
$$ 2e^{2\frac{\pi}{2}i} = 2e^{\pi i} $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ z^2 = 2e^{\pi i} $$
Возвести комплексное число в третью степень:
$$ z = 1+\sqrt{3}i $$
Так как комплексное число представлено в алгебраической форме, а выполнять возведение в степень удобно в тригонометрической форме, то сначала выполним перевод из алгебраической формы в тригонометрическую.
Найдем модуль:
$$ |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 $$
Узнаем аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac{b}{a} = arctg \frac{\sqrt{3}}{1} = arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $$
Записываем число в тригонометрической форме:
$$ z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) $$
Находим третью степень числа:
$$ z^3 = 2^3(\cos (3 \cdot \frac{\pi}{3})+i\sin (3 \cdot \frac{\pi}{3})) = 8 (\cos \pi + i\sin \pi) $$
Приводим назад к алгебраической форме:
$$ z^3 = 8 (-1 + i \cdot 0) = 8 \cdot (-1+0) = -8 $$
$$ z^3 = -8 $$