Модуль и аргумент комплексного числа
Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.
Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.
Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| \ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.
Аргумент комплексного числа обозначается $ \varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:
- $ a > 0 $, тогда $ \varphi = arctg \frac{b}{a} $
- $ a < 0, b \ge 0 $, тогда $ \varphi = \pi + arctg \frac{b}{a} $
- $ a < 0, b < 0 $, тогда $ \varphi = -\pi + arctg \frac{b}{a} $
- $ a = 0, b > 0 $, тогда $\varphi = \frac{\pi}{2}$
- $ a = 0, b < 0 $, тогда $\varphi = -\frac{\pi}{2}$
Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 - 4i $.
Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:
$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$
Применяя формулу вычисления модуля получаем:
$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 $$
Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент:
$$\varphi = \arctg \frac{b}{a} = \arctg \frac{-4}{3} = -\arctg \frac{4}{3}.$$
$$ |z| = 5, \varphi = -\arctg \frac{4}{3} $$
Определить модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $
В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:
$$ a = Re z = 0 $$
Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$
Вычисляем модуль по уже известной формуле:
$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 $$
А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$\varphi = \frac{\pi}{2}.$$
$$ |z| = 3, \varphi = \frac{\pi}{2} $$
Вычислите модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+\sqrt{3}i $$
Выписываем действительную и мнимую часть:
$$ a = 1 $$ $$ b = \sqrt{3} $$
Так как $ a > 0 $, то аргумент равен
$$ \varphi = arctg \frac{\sqrt{3}}{1} = arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $$
Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3}=2.$$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ \varphi = \frac{\pi}{3}, |z| = 2 $$
Найдите аргумент комплексного числа $$ z = -1 + \sqrt{3}i $$
Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$
Мнимая часть $$ b = Im z = \sqrt{3} $$
Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой:
$$ \varphi = arg z = \pi + arctg \frac{\sqrt{3}}{-1} = \pi + \arctg (-\sqrt{3}) = $$
$$ = \pi - \arctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}. $$
$$ \varphi = \frac{2\pi}{3} $$