Интегрирование тригонометрических функций
Формула интегрирования тригонометрических функций в общем виде:
$$ \int \sin^n x \cos^n x dx $$
где $ m $ и $ n $ - неотрицательные целые числа.
Рассмотрим пару случаев:
- Хотя бы один из показателей $ m $ или $ n $ нечётный
- Оба показателя $ m $ и $ n $ чётные
В первом случае применяем непосредственное интегрирование, а во втором могут помочь тригонометрические формулы:
$$ \sin^2 x = \frac{1}{2}(1-\cos 2x); \cos^2x = \frac{1}{2}(1+\cos 2x); \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x; $$
Так же существуют интегралы вида:
$$ \int \sin mx \sin nx dx; \int \cos mx \cos nx dx; \int \sin mx \cos nx dx $$
Их можно находить с помощью использования тригонометрических формул:
$$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)] $$
$$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)] $$
$$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)] $$
| Пример 1 |
| Найти интеграл: $$ \int \sin^3 x \cos^2 x dx $$ |
| Решение |
|
Замечаем, что одна из степеней является нечетной, поэтому интегрирование тригонометрических функций вместе с методом непосредственного интегрирования должно помочь получить ответ к данной задаче. Прежде выполним подведение под знак дифференциала: $$ \int \sin^3 x \cos^2 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \sin x dx = -\int \sin^2 x \cos^2 x d(\cos x) = $$ Избавляемся от синуса через тригонометрическое тождество и выполняем разложение на два интеграла: $$ = -\int (1-\cos^2 x) \cos^2 x d(\cos x) = -\int \cos^2 x d(\cos x) + \int \cos^4 x d(\cos x) = $$ Так как полученные интегралы содержат табличные функции, то записываем ответ: $$ = -\frac{1}{3} \cos^2 x + \frac{1}{5} \cos^5 x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int \sin^3 x \cos^2 x dx = -\frac{1}{3} \cos^2 x + \frac{1}{5} \cos^5 x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти интеграл произведения тригонометрических функций: $$ \int \sin^2 x \cos^4 x dx $$ |
| Решение |
|
Учитывая, что $ \cos^4 x = \cos^2 x \cdot \cos^2 x $ преобразуем выражение под знаком интеграла: $$ \int \sin^2 x \cos^4 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \cos^2 x dx = \int (\sin x \cos x)^2 \cos^2 x dx = $$ Выполняем преобразование под синус двойного угла $ (\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2x $: $$ = \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \cos^2 x dx = \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \frac{1+\cos 2x}{2} dx = $$ Раскладываем интеграл на два интеграла: $$ = \frac{1}{8} \int \sin^2 2x dx + \frac{1}{8} \int \sin^2 2x \cdot \cos 2x dx = $$ С помощью формулы понижения степени синуса $ \sin^2 2x = \frac{1-\cos 4x}{2} $ получаем: $$ = \frac{1}{8} \int \frac{1-\cos 4x}{2} dx + \frac{1}{16} \int \sin^2 2x d(\sin 2x) dx = $$ Выполняем интегрирование: $$ = \frac{1}{16} \int dx - \frac{1}{16} \int \cos 4x dx +\frac{1}{16} \frac{\sin^3 2x}{3} = $$ $$ = \frac{1}{16} x - \frac{1}{64} \sin 4x +\frac{1}{48} \sin^3 2x + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \sin^2 x \cos^4 x dx = \frac{1}{16} x - \frac{1}{64} \sin 4x +\frac{1}{48} \sin^3 2x + C $$ |
| Пример 3 |
| Найти интеграл тригонометрической функции: $$ \int (\cos 5x \cos x) dx $$ |
| Решение |
|
С помощью формулы произведения косинусов преобразуем: $$ \cos 5x \cos x = \frac{1}{2}[\cos(5x-x)+\cos(5x+x)] = \frac{1}{2}[\cos4x+\cos6x] $$ Добавляем знак интеграла и выполняем разложение: $$ \int \frac{1}{2}[\cos4x+\cos6x] dx = \frac{1}{2}\int \cos 4x dx + \frac{1}{2}\int \cos 6x dx = $$ Зная таблицу интегрирования элементарных функций получаем ответ: $$ = \frac{1}{8} \sin 4x + \frac{1}{12} \sin 6x + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int (\cos 5x \cos x) dx = \frac{1}{8} \sin 4x + \frac{1}{12} \sin 6x + C $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ