Интегрирование по частям
Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема, а другая интегрируема. Работает техника для неопределенных и определенных интегралов.
Формула для неопределенного интеграла:
$$ \int udv = uv - \int vdu $$
Формула для определенного интеграла:
$$ \int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu $$
Рассмотрим на практике примеры решения интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание ещё раз на то, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.
| Пример 1 |
| Найти интеграл $ \int xe^xdx $ |
| Решение |
|
Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла используем метод интегрирования по частям. Положим, $ u = x \rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C. $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
|
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти интеграл $ \int x\cos x dx $ |
| Решение |
|
В качестве неизвестных функций $ u $ и $ v $ возьмем следующие: $ u=x \rightarrow du=dx $ и $ dv = \cos x dx \rightarrow v = \sin x $. Подставим функции $ u $ и $ v $ в первую формулу $$ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. $$ |
| Ответ |
|
$$ \int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C $$ |
| Пример 3 |
| Вычислить интеграл $ \int \limits_1 ^e x\ln x dx $ |
| Решение |
|
В данном задании имеем интеграл с пределами, а поэтому будем применять формулу для определенного интеграла. Введём обозначения $$ u = \ln x \rightarrow du = \frac{dx}{x}, \text{a за } dv = xdx \rightarrow v = \frac{x^2}{2}. $$ Осталось подставить это в формулу $$ \int \limits_1 ^e x\ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x \bigg |_1 ^e - \int \limits_1 ^e \frac{x^2}{2}\frac{dx}{x} = \frac{e^2}{2} - 0 - \frac{1}{2} \int \limits_1 ^e xdx = $$ $$ =\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \frac{x^2}{2}\bigg |_1 ^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}(\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4} .$$ |
| Ответ |
|
$$ \int \limits_0 ^1 x \ln x dx = \frac{e^2+1}{4} $$ |
| Пример 4 |
| Вычислить интеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ |
| Решение |
|
По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать $ (x+5) $, то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac{3^x}{ln3} .$$ Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac{3^x}{\ln 3} \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac{3^x dx}{\ln 3} = $$ $$ = \frac{18}{\ln 3} - \frac{5}{\ln 3} - \frac{3^x}{\ln^2 3}\bigg| _0 ^1 = \frac{13}{\ln 3} - \frac{3}{\ln^2 3}+\frac{1}{\ln^2 3} = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3}. $$ |
| Ответ |
| $$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ