Интегрирование по частям: примеры решений

Интегрирование по частям — метод, применяемый для решения определенных и неопределенных интегралов, когда одна из подынтегральных функций легко интегрируема, а другая дифференцируема. Достаточно распространенный метод нахождения интегралов как неопределенных, так и определенных. Главный признак, когда нужно использовать его - это  состоящая из произведения двух функций некоторая функция, которую нельзя проинтегрировать в упор.

Формулы

Для того, чтобы успешно использовать данный метод интегрирования необходимо разобрать и выучить формулы.

  1.  формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле
  2.  для интегрирования по частям в определенном интеграле

Примеры решений

Рассмотрим на практике интегрирование по частям, примеры решений которого часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный способ - интегрирование по частям.

ПРИМЕР 1

Найти интеграл

Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим, , а

Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем:

ПРИМЕР 2

Найти интеграл

Снова применяем метод интегрирования по частям. В качестве неизвестных функций u и v возьмем следующие:  и .

Подставим функции u и v в первую формулу интегрирования по частям. Имеем:

ПРИМЕР 3

Вычислить интеграл

В данном задании имеем интеграл с пределами, а поэтому будем применять формулу интегрирование по частям в определенном интеграле. Обозначим,

Осталось подставить это в формулу.

ПРИМЕР 4

Вычислить интеграл

По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать (x+5), то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так:

Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.

В статье "Интегрирование по частям: примеры решений" было дано определение, суть метода, формулы и приведены разобранные задачи.