Внесение (подведение) под знак дифференциала

При решении некоторых типов интегралов выполняется преобразование, как говорят внесение под знак дифференциала. Это делается, чтобы получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: Хочется отметить такой важный нюанс, над которым задумываются студенты. Чем же отличается этот метод от способа замены переменной (подстановки)? Это то же самое, только в записях выглядит по-разному. И то и другое верно.

Как вносить под знак дифференциала?

Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, тогда внесите под знак дифференциала нужную функцию. Выглядит это следующим образом: , где

Внесение под значок дифференциала основных функций

Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:
Пример 1
Найти интеграл
Решение
В данном примере можно занести под знак дифференциала любую из предложенных функций, хоть синус, хоть косинус. Для того, чтобы не путаться со сменой знаков удобнее занести соsx. Используя формулы имеем:
Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание
ПРИМЕР 2

Найти интеграл

Решение: В данном примере нужно внести под знак дифференциала . Используя формулы внесения получаем:

 

ПРИМЕР 3

Найти интеграл

Решение: В таких случаях числитель подынтегральной функции является дифференциалом знаменателя. Убедиться в этом можно взяв производную знаменателя: . После дифференцирования в правой части появляется наш числитель с множителем два. Из формул внесений следует, что от двойки нужно избавиться путем домножения интеграла на 1/2. Пробуем:

Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание
 

ПРИМЕР 4

Найти интеграл

Решение: Так как котангенс интеграл не табличный, то его попробуем решить методом подведения под знак дифференциала. Но прежде, катангенс нужно выразить через отношения косинуса с синусом. Известно, что

Получаем интеграл . Под знак дифференциала перенесем косинус:

 

ПРИМЕР 5

Найти интеграл \( \int x^2 cosx^3dx \)

Решение: В примерах этого типа внесение нужно для квадрата икса, чтобы остался только косинус под интегралом. Для этого нужно понимать, что

Подставив эту "замену" в исходный интеграл легко найдем ответ для задачи. 

Итак, в статье разобрали как решаются некоторые виды интегралов методом занесения под знак дифференциала. Вспомнили дифференциалы часто распространенных элементарных функций. Если не получается или не хватает времени решить задачи контрольных работ самостоятельно, то мы окажем Вам свою помощь в кратчайшие сроки. Достаточно заполнить форму заказа и мы свяжемся с Вами.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ