Признак Даламбера
Пусть задан положительный ряд $ \sum _{n = 1}^\infty a_n $, где $ a_n $ - общий член ряда. Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера целесообразно в случаях, когда в общем члене ряда присутствует:
- Число в степени $ 2^n, 3^{n+1}, 5^{2n+3} $
- Факториал $ n!, (n+1)!,(2n+1)! $
Для исследования сходимости по признаку Даламбера нужно воспользоваться формулой: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L $$ Если:
- $ 0 \leqslant L < 1 $ - ряд сходится
- $ L>1$ - ряд расходится
- $ L=1 $ - признак Даламбера не даёт ответа о сходимости
Частный случай: при $ \small L = \infty $ ряд расходится.
Если $ \small L = 1 $, то возможно подойдет предельный признак сходимости
Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера ряд $ \sum_{n=1}^\infty \frac{6^n}{n!} $
Общий член ряда $ a_n = \frac{6^n}{n!} $
Следующий член ряда $ a_{n+1} = \frac{6^{n+1}}{(n+1)!} $
Подставим это в формулу и найдем отношение следующего и предыдущего члена ряда:
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{6^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{6^n}{n!}} = \frac{6^{n+1} \cdot n!}{(n+1)! \cdot 6^n} $$
Выполняем сокращение степеней и факториалов:
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{6}{n+1} $$
Теперь найдем предел получившегося соотношения:
$$ L = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{6}{n+1} = 0 $$
Так как $ L = 0 < 1 $, то значит ряд сходится по признаку Даламбера.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ряд $ \sum_{n=1}^\infty \frac{6^n}{n!} $ сходится
Исследуйте сходимость ряда используя признак Даламбера $ \sum_{n = 1}^\infty \frac{(n+1)!}{(n+2)5^n} $
Запишем общий член ряда: $ a_n = \frac{(n+1)!}{(n+2)5^n} $
Выведем следующий член ряда с помощью подстановки $ n=n+1 $: $$ a_{n+1} = \frac{(n+2)!}{(n+3)5^{n+1}} $$
Запишем отношение предыдущего члена к следующему:
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{ \frac{(n+2)!}{(n+3)5^{n+1}}}{\frac{(n+1)!}{(n+2)5^n}} = $$ Запишем дробь в два этажа и сделаем сокращение:
$$ = \frac{(n+2)!(n+2)5^n}{(n+3)5^{n+1}(n+1)!} = \frac{(n+2)(n+2)}{5(n+3)} $$
Найдем предел полученного выражения и сделаем вывод о сходимости:
$$ L = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+2)(n+2)}{5(n+3)} = $$
Так как получается неопределенность, то вынесем за скобки $ n $:
$$ = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^2(1+\frac{2}{n})(1+\frac{2}{n})}{5n(1+\frac{3}{n})} = $$
После сокращения числителя и знаменателя на $ n $ имеем:
$$ = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n(1+\frac{2}{n})(1+\frac{2}{n})}{5(1+\frac{3}{n})} = \frac{\infty}{5} = \infty $$
Так как $ L = \infty $, то по признаку Даламбера ряд расходится.
Ряд $ \sum_{n = 1}^\infty \frac{(n+1)!}{(n+2)5^n} $ расходится