Сумма числового ряда
Пусть задан числовой ряд $ \sum_{n=1}^\infty a_n $.
Сумма ряда равна пределу частичных сумм:
$$ S = \lim_{n\to\infty} S_n $$
В данной формуле частичная сумма $ S_n $ расчитывается следующим образом:
$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n $$
Если предел частичных сумм является конечным, то ряд является сходящимся. В противном случае ряд расходящийся.
Чтобы найти сумму ряда нужно выполнить несколько операций над общим членом ряда:
- Составить частичную сумму $ S_n $
- Найти предел $ \lim_{n\to\infty} S_n = S $
Если получено конечное число $ S $, то оно и есть сумма ряда.
Типы общего члена ряда в задачах:
- Ряд задан бесконечной убывающей геометрической прогрессией$ \sum_{n=1}^\infty q^n $, $ |q| \lt 1 $
В этом случае сумма вычисляется по формуле $ S = \frac{b_1}{1-q} $, где $ b_1 $ - первый член прогрессии, а $ q $ - её основание - Ряд задан в виде рациональной дроби$ \frac{P(n)}{Q(n)} $
Здесь нужно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму элементарных дробей. Затем составить частичную сумму $ S_n $ и найти её предел, который будем искомой суммой
Найти сумму ряда: $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{n+1}} $
Так как ряд представляет собой бесконечною убывающую геометрическую прогрессию, то воспользуемся формулой: $$ S = \frac{b_1}{1-q} $$
Первый член прогрессии при $ n = 1 $ равен: $$ b_1 = \frac{1}{9} $$ Основанием является: $$ q = \frac{1}{3} $$
Подставляя всё это в формулу для вычисления суммы получаем:
$$ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{6} $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ S = \frac{1}{6} $$
Найти сумму ряда $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} $
Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:
$$ \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+3} = \frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$
Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:
$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$
Раскрываем скобки:
$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$
Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:
$$ \begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \\ n^1: &3A+B=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=\frac{1}{2} \\ B=-\frac{1}{2} \end{cases} $$
После разложения общий член ряда записывается следующим образом:
$$ a_n =\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2} \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2} \frac{1}{2n+3} $$
Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n $$
$$ a_1 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) $$
$$ a_2 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) $$
$$ a_3 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) $$
$$ ........................................ $$
$$ a_{n-1}=\frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) $$
$$ a_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$
Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_{n-1} $.
Обратите внимание, чтобы составить $ a_{n-1} $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.
Итого, получаем:
$$ S_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) + ... $$
$$ ... + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$
Выносим дробь одну вторую $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$$ = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9} ... + $$
$$ + ... \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \bigg) = $$
Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:
$$ S_n = \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$
Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:
$$ S=\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$
$$ = \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$
$$ S = \frac{1}{6} $$