Производная произведения функций
Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя:
$$ (uv)'=u'v+uv' $$
Следует отметить, что не в коем случае производная произведения функций НЕ РАВНА произведению производных каждого множителя!
Найти производную произведения двух функций $ y = x\ln x $
Находим производные от каждого из множителей. Для множителя $ x $ производная будет равна: $$ (x)'=1 $$
Для второй функции $ \ln x $ производная находится по формуле для логарифма и равна:
$$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$
В целом пользуясь формулой производной произведения записыаем ответ:
$$ y'=(x\ln x)'=(x)'\ln x + x(\ln x)'=\ln x + x\cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ y'=\ln x + 1 $$
Найти производную функции $ y = x^2e^{3x} $
Производная первой функции равна: $$ (x^2)'=2x $$
Производная второй функции равна: $$ (e^{3x})'=e^{3x}\cdot (3x)'=e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x} $$
Используя правило получаем:
$$ y'=(x^2e^{3x})'=(x^2)'e^{3x}+x^2(e^{3x})'=2xe^{3x}+3x^2e^{3x} $$
Выносим экспоненты за скобки для упрощенной записи ответа:
$$ y'=(3x^2+2x)e^{3x} $$
$$ y'=(3x^2+2x)e^{3x} $$