Производная арксинуса
Формула производной арксинуса записывается следующим образом $$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Если аргумент арксинуса представлен сложной функций $u(x)$, тогда формула выглядит так $$(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$$
| Пример 1 |
| Найти производную $y = 2\arcsin x + 4$ |
| Решение |
|
По правилу дифференцирования суммы функций $$y' = (2\arcsin x + 4)' = (2\arcsin x)' + (4)' = $$
Выносим константу за знак производной $$ = 2 (\arcsin x)' + (4)' = $$
Производная константы равна нулю. Производную арксинуса мы знаем. $$ = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + 0 = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$$
|
| Ответ |
| $$y' = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$$ |
| Пример 2 |
| Найти производную $y = \arcsin (4x)$ |
| Решение |
|
Аргумент арксинуса является сложной функцией. Значит, применяем вторую формулу. Находим сначала производную в целом от арксинуса не обращая внимания на аргумент и затем умножаем на производную от аргумента.
$$y' = (\arcsin (4x))' = \frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot (4x)' = $$
Возводим под корнем в квадрат $4x$ и находим производную от $(4x)'$
$$ = \frac{1}{\sqrt{1-16x^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$$
|
| Ответ |
| $$y' = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$$ |
