Как найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.
Пусть заданы два вектора $ \overline{a} = \alpha_1 \overline{p} + \alpha_2 \overline{q} $ и $ \overline{b} = \beta_1 \overline{p} + \beta_2 \overline{q} $, синус угла между ними $ \sin \varphi $ и длины векторов $ |\overline{p}|, |\overline{q}| $. Тогда формула такая:
$$ S = \Big | [\overline{a}, \overline{b}] \Big | = |\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1| \cdot |\overline{p}| \cdot |\overline{q}| \cdot \sin \varphi $$
| Пример 1 |
| Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline{a} = \overline{p}+3\overline{q} $ и $ \overline{b} = 2\overline{p} - \overline{q} $, длины которых равны $ |\overline{p}|=2, |\overline{q}| = 1 $, а угол между ними $ \varphi = \frac{\pi}{6} $ |
| Решение |
|
Вычисляем векторное произведение векторов: $$ [\overline{a},\overline{b}] = [\overline{p}+3\overline{q}, 2\overline{p}-\overline{q}] = $$ Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых: $$ = 2[\overline{p},\overline{p}] - [\overline{p},\overline{q}] + 6 [\overline{q},\overline{p}] - 3[\overline{q}, \overline{q}] = $$ Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [\overline{p},\overline{p}]=0, [\overline{q},\overline{q}]=0 $, $ [\overline{q},\overline{p}]=-[\overline{p},\overline{q}] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения: $$ = 2 \cdot 0 - [\overline{p},\overline{q}] - 6 [\overline{p},\overline{q}] - 3 \cdot 0 = -7 [\overline{p},\overline{q}] $$ Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними: $$ S = |-7 [\overline{p},\overline{q}] | = 7 |\overline{p}| |\overline{q}| \sin \frac{\pi}{6} = 7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 7 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ S = 7 $$ |
| Пример 2 |
| Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline{a} = \overline{p}+\overline{q} $ и $ \overline{b} = 2\overline{p}-\overline{q} $, если известны их длины $ |\overline{p}| = 2 $, $ |\overline{q}| = 3 $ и угол между ними $ \varphi = \frac{\pi}{3} $ |
| Решение |
|
Вычисляем векторное произведение: $$ [\overline{a},\overline{b}] = [\overline{p}+\overline{q}, 2\overline{p}-\overline{q}] = $$ Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы: $$ = 2[\overline{p},\overline{p}] - [\overline{p},\overline{q}] + 2 [\overline{q},\overline{p}]-[\overline{q},\overline{q}] = $$ $$ = 2 \cdot 0 - [\overline{p},\overline{q}] - 2[\overline{p},\overline{q}]-0 = -3 [\overline{p},\overline{q}] $$ Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи: $$ S = | [\overline{a},\overline{b}]| = |-3 [\overline{p},\overline{q}]| = 3\cdot |\overline{p}| |\overline{q}| \sin \varphi = $$ $$ = 3 \cdot 2 \cdot 3 \sin \frac{\pi}{3} =18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} $$ |
| Ответ |
| $$ S = 9\sqrt{3} $$ |