Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Определенный интеграл: онлайн калькулятор

Определенный интеграл получается из неопределенного путём добавления пределов интегрирования. В геометрическом смысле такой интеграл означает площадь фигуры, ограниченной линиями. В результате вычисления получается число.

Чтобы вычислить такой интеграл вручную применяют привычный формулы из таблицы интегрирования и методы. Затем используется формула Ньютона-Лейбница: $$ \int _a ^b f(x) dx = F(b)-F(a) $$ В этой формуле функция $ F $ представляет собой первообразную в аналитическом виде. В неё подставляют пределы интегрирования $ a $ и $ b $. Стоит заметить на порядок вычитания: из $ F(b) $ вычитаем $ F(a) $. В противном случае знак поменяется на противоположный.

Для компьютерного численного решения используются иные методы: Симпсона, прямоугольников и другие. В каждом метод можно указать точность, с которой вычислится интеграл. В практических жизненных задачах инженеры конечно же используют ЭВМ и численные методы.

Пример 1
Решить вручную, а затем найти определенный интеграл онлайн через калькулятор: $$ \int _0 ^1 (x^2 + x + 3) dx $$
Решение

Смотрим первым делом на выражение под интегралом, содержащее многочлен. Каждый член представляет собой показательную функцию $ x^p $, интеграл от которой вычисляется по формуле: $$ \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C $$

Используя метод непосредственного интегрирования находим:

$$ \int _0 ^1 (x^2 + x + 3) dx = \Bigg (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x \Bigg)\Bigg |_0 ^1 = $$

Теперь пользуясь формулой Ньютона-Лейбница получаем:

$$ =\Bigg(\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 3\cdot 1\Bigg) - \Bigg(\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 3\cdot 0\Bigg) = $$

$$ = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 3 - 0 - 0 - 0 = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+3 = $$

$$ = \frac{2+3+18}{6} = \frac{23}{6} $$

Теперь вводим в онлайн калькулятор выражение: x^2 + x + 3 с пределами от 0 до 1. Сверяем полученный ответ с "ручным".

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int _0 ^1 (x^2 + x + 3) dx = \frac{23}{6} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ