Несобственные интегралы
Несобственный интеграл — это интеграл, у которого:
- один или оба предела интегрирования бесконечны (интеграл I рода);
- подынтегральная функция имеет разрыв на отрезке интегрирования (интеграл II рода)
Ключевые отличия от обычного интеграла:
- требует исследования на сходимость;
- вычисляется через предел;
- может расходиться (не иметь конечного значения).
Как решать несобственные интегралы?
- Определить тип интеграла
I род: пределы $\pm \infty$ (например, $\int_1 ^\infty \frac{dx}{x^2}$).
II род: разрыв функции внутри отрезка (например, $\int_0 ^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$ - Проверить на сходимость
Используйте признаки: сравнения, предельный признак сравнения, признак Коши, интегральный признак Коши (для рядов) - Вычислить через предел
Для I рода: $$\int_a ^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a ^b f(x) dx$$
Для II рода (разрыв в точке c): $$\int_a ^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg(\int_a ^{c-\varepsilon} f(x)dx + \int_{c+\varepsilon}^b f(x) dx \bigg)$$ - Проанализировать результат
Если предел существует и конечен — интеграл сходится.
Если предел не существует или равен $\infty$ — интеграл расходится. - Записать ответ
Укажите значение интеграла (если сходится) или "интеграл расходится" (если не сходится).
Примеры решений
Пример 1
Вычислить интеграл I рода (с бесконечным пределом) $$\int_1 ^\infty \frac{dx}{x^2}$$
Решение
- Тип: I род (предел $\infty$).
- Проверяем сходимость: сравним с $\int \frac{dx}{x^{1+\alpha}} (\alpha > 0)$. Здесь $\alpha = 1 > 0$ — сходится.
- Вычисляем через предел: $$\lim_{b\to\infty} \int_1 ^b \frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty} \bigg[-\frac{1}{x}\bigg]_1 ^b = \lim_{b\to\infty} \bigg(-\frac{1}{b}+1\bigg) = 1$$.
Ответ
Интеграл сходится, его значение равно 1.
Пример 2
Вычислить интеграл II рода (с разрывом функции) $$\int_0 ^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Решение
- Тип: II род (разрыв при $x=0$).
- Проверяем сходимость: подынтегральная функция $x^{-1/2}$ при $x\to 0$. Показатель -1/2 > -1 — сходится.
- Вычисляем: $$\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_\varepsilon ^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} [2\sqrt{x}]_\varepsilon ^1 = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} (2-2\sqrt{\varepsilon}) = 2.$$
Ответ
Интеграл сходится, его значение равно 2.
Пример 3
Исследовать интеграл на сходимость $$\int_1 ^\infty \frac{dx}{x}$$
Решение
- Тип: I род.
- Признак сравнения: $\frac{1}{x} \to $ гармоническому ряду, который расходится.
- Вычисляем предел: $$\lim_{b\to\infty} \int_1 ^b \frac{dx}{x} = \lim_{b\to\infty} [\ln x]_1 ^b = \lim_{b\to\infty} (\ln b - 0) = \infty.$$
Ответ
Интеграл расходится.
Пример 4
Вычислить несобственный интеграл (комбинированный случай) $$\int_0 ^\infty \frac{dx}{1+x^2}$$
Решение
- Разбиваем на два интеграла: $\int_0 ^1 + \int_1 ^\infty$.
- Первый интеграл — обычный (нет разрывов).
- Второй — I рода. Проверяем: $$\int_1 ^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{b\to\infty}[\arctg x]_1 ^b = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$$
- Суммируем: $\int_0 ^1 = \frac{\pi}{4}$, итого $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$
Ответ
Интеграл сходится, значение $\frac{\pi}{2}$.
Пример 5
Вычислить интеграл с разрывом внутри отрезка $$\int_{-1} ^1 \frac{dx}{x}$$
Решение
- Разрыв при $x=0$. Разбиваем: $\int_{-1} ^0 + \int_0 ^1$.
- Оба интеграла расходятся (поведение $\frac{1}{x}$).
- Записываем ответ, что интеграл расходится.
Ответ
Интеграл расходится
Частые ошибки
- Не проверили сходимость — пытаетесь вычислить расходящийся интеграл.
- Забыли про предел — записали ответ без $\lim$.
- Не учли тип разрыва — для II рода нужно разбивать отрезок.
- Ошиблись в признаках сравнения — выбрали неверную эталонную функцию.
Заключение
Чтобы успешно решать несобственные интегралы:
- всегда начинайте с определения типа (I или II род);
- проверяйте сходимость до вычислений;
- аккуратно работайте с пределами;
- записывайте ответ с указанием сходимости.