Определенный интеграл
Определенный интеграл — это одно из важнейших понятий математического анализа, которое широко применяется в различных областях науки и техники. В отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл имеет конкретные пределы интегрирования и дает числовой результат.
Определенный интеграл функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ обозначается как: $$\int_a ^b f(x) dx$$ где:
- a — нижний предел интегрирования
- b — верхний предел интегрирования
- f(x) — подынтегральная функция
- dx — дифференциал переменной интегрирования
Формула Ньютона-Лейбница
Основная формула вычисления определенного интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница: $$\int_a ^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$ где $F(x)$ – первообразная функции $f(x)$.
Свойства определенного интеграла
- Линейность: $\int_a ^b (kf(x) + mg(x))dx = k\int_a ^b f(x) dx + m\int_a ^b g(x) dx$
- Аддитивность: $\int_a ^c f(x) dx + \int_c ^b f(x) dx = \int_a ^b f(x) dx$
- Монотонность: если $f(x) \le g(x)$ на $[a;b]$, то $\int_a ^b f(x) dx \le \int_a ^b g(x) dx$
Геометрический смысл
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной:
- графиком функции $y=f(x)$
- осью Ox
- прямыми $x=a$ и $x=b$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $$ \int_1^2 x^3 dx $$ |
| Решение |
|
Первым делом проверяем, что подынтегральная функция $ f(x)=x^3 $ является непрерывной на отрезке $ x\in [a;b] $. Если всё нормально, то приступаем ко второму шагу, а именно нахождение первообразной $ F(x) $. Для этого достаточно убрать пределы интегрирования и решить его любым методом. В нашем случае нужно применить метод непосредственного интегрирования. По таблице интегрирования находим, что $ \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} $. $$ F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} dx = \frac{x^4}{4} + C $$ Положим $ C = 0 $ и получаем одну из первообразных: $ F(x) = \frac{x^4}{4} $. Теперь зная $ F(x) $ можно использовать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления окончательного результата. Подставляем $ a $ и $ b $ в $ F(x) $ поочередно, а затем ищем разность: $$ F(a) = F(1) = \frac{1}{4} $$ $$ F(b) = F(2) = \frac{16}{4} = 4 $$ $$ F(b) - F(a) = F(2) - F(1) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} $$ В результате мы получили, что: $$ \int_1^2 x^3 dx = F(2) - F(1) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int_1^2 x^3 dx = \frac{15}{4} $$ |
| Пример 2 |
|
Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислите определенный интеграл $$ \int_0^\pi x\sin x dx $$ |
| Решение |
|
Для нахождения этого определенного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям: $$ \int_0^\pi x\sin x dx = \begin{vmatrix} u = x & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{vmatrix} = $$ $$ = -x\cos x \bigg |_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x)dx = - (\pi\cdot \cos \pi - 0\cdot \cos 0) + \int_0^\pi \cos x dx = $$ $$ = -(\pi \cdot (-1) - 0\cdot 1) + \int_0^\pi \cos x dx = \pi + \int_0^\pi \cos x dx = $$ Обратите внимание на то, что при вычислении $ uv $ мы использовали формулу Ньютона-Лейбница. Теперь дорешиваем второй интеграл опять же с учетом этой же формулы и записываем ответ: $$ = \pi +\sin x \bigg |_0^\pi=\pi + (\sin \pi - \sin 0)=\pi + (0 - 0)=\pi $$ |
| Ответ |
| $$ \int_0^\pi x\sin x dx = \pi $$ |
| Пример 3 |
| Найти определенный интеграл $$\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx $$ |
| Решение |
| Пользуемся методом разложения интеграла на простейшие, а затем интегрируем каждый по отдельности $$ \int_0^2 (x^3+2x+2) dx = \int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx = $$ Для первых двух интегралов пользуемся правилом $x^p = \frac{x^{p+1}}{p+1}$, а в третьем стоит константа $$ = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + 2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + x^2 \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = $$ Подставляя пределы интегрирования в каждую функции вычисляем ответ $$ = 4 + 4 + 4 = 12 $$ |
| Ответ |
| $$\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx = 12 $$ |
| Пример 4 |
| Вычислить определенный интеграл $$\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx$$ |
| Решение |
|
Выполняем замену $t = x^2$. Отсюда получаем $dt = 2xdx$. Не забываем о пределах интегрирования. Теперь их нужно пересчитать для переменной $t$. Сделать это можно если подставить $0$ и $1$ в замену $t = x^2$. В данной задаче они остались прежними. После подстановки в интеграл получаем $$\int_0^1 \frac{x}{x^4+1}dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2+1} = $$ Посмотрев в таблицу интегрирования основных элементарных функций выполняем нахождение интеграла $$ = \frac{1}{2} arctg t \bigg |_0^1 = $$ Теперь по формуле Ньютона-Лейбница записываем ответ $$ = \frac{1}{2} arctg 1 - \frac{1}{2} arctg 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{8}$$ |
| Пример 5 |
| Решить определенный интеграл $$ \int_0^\pi (x+5)\sin x dx $$ |
| Решение |
|
Под интегралом стоит произведение двух функций, поэтому попытаемся взять интеграл методом интегрирования по частям: $$\int udv = uv - \int vdu $$ $$ \int_0^\pi (x+5) \sin x dx = \begin{vmatrix} u = x+5 & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{vmatrix} = $$ Подставляем в формулу интегрирования по частям найденные данные из вертикальных скобок $$ =-(x+5)\cos x \bigg |_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx = $$ Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла находим ответ $$= -(\pi+5) \cdot (-1) + 5 + \sin x \bigg |_0^\pi = $$ $$ = \pi + 10 + \sin \pi - \sin 0 = \pi + 10 $$ |
| Ответ |
| $$ \int_0^\pi (x+5)\sin x dx = \pi + 10 $$ |