Угол между двумя плоскостями

Пусть заданы уравнениями две плоскости $$A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$$ $$A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$$

Запишем нормальные векторы этих плоскостей, каждая координата которых равна соответствующим коэффициентам в уравнениях плоскостей $$\overline{n}_1 = (A_1,B_1,C_1)$$$$\overline{n}_2 = (A_2,B_2,C_2)$$

Угол между плоскостями – это угол между двумя нормальными векторами этих плоскостей, вычисляемый по формуле: $$\cos \varphi = \frac{(\overline{n}_1,\overline{n}_2)}{|\overline{n}_2| \cdot |\overline{n}_2|}$$

В числителе формулы стоит скалярное произведение векторов, вычисляемое путем суммирования произведений соответствующих координат

$$(\overline{n}_1,\overline{n}_2) = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 + C_1 \cdot C_2$$

В знаменателе расположено произведение длин векторов, вычисляемых извлечением квадратного корня из суммы квадратов соответствующих координат векторов

$$|\overline{n}_1| = \sqrt{A_1 ^2 + B_1 ^2 + C_1 ^2}$$

$$|\overline{n}_2| = \sqrt{A_2 ^2 + B_2 ^2 + C_2 ^2}$$

1. Вычисляем скалярное произведение нормальных векторов $(\overline{n}_1,\overline{n}_2)$
2. Находим произведение модулей нормальных векторов $ |\overline{n}_1| \cdot |\overline{n}_2| $
3. Подставляем найденные значения в формулу косинуса угла между плоскостями $ \cos \varphi $