Правило Лопиталя
Самым быстрым и универсальным способом для вычисления пределов является правило Лопиталя. Для того, чтобы успешно пользоваться этим замечательным методом вычисления достаточно хорошо уметь находить производные различных функций.
Благодаря правилу Лопиталя можно раскрывать неопределенности вида $ \frac{0}{0} $ и $ \frac{\infty}{\infty} $ при вычислении пределов. Суть его состоит в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций. $$ \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
Если $ \lim \limits_{x \to a} f(x) = \lim \limits_{x \to a} g(x) = 0 \text{ или } \infty $, существуют $ f'(a) \text{ и } g'(a) $, $ g'(x)\neq0 $, существует $ \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $, тогда можно воспользоваться правилом.
Отсюда получаем алгоритм вычисления пределов по Лопиталю:
- Подставляем точку $ x $ в предел
- Если получается $ \frac{0}{0} \text{ или } \frac{\infty}{\infty} $, тогда находим производную числителя и знаменателя
- Подставляем точку $ x $ в получившийся предел и вычисляем его. Если получается неопределенность, то повторяем пункты 2 и 3
| Пример 1 |
| Найти предел по правилу Лопиталя: $ \lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} $ |
| Решение |
|
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} = \frac{0}{0} = $$ Видим, что получилась неопределенность $ \frac{0}{0} $, если подставить вместо иксов точку $ x = -1 $, а это первый сигнал о том, что необходимо применить формулу для вычисления предела. Используем её: $$ = \lim \limits_{x \to -1} \frac{(x^2-1)'}{(x^3+x+2)'} = $$ $$ =\lim \limits_{x \to -1} \frac{2x}{3x^2+1} = $$ Снова попробуем вычислить предел подставив $ x=-1 $ в последний предел, получаем: $$ =\frac{2 \cdot (-1)}{3 \cdot (-1)^2+1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} = -\frac{1}{2} $$ |
| Пример 2 |
| Вычислить предел по правилу Лопиталя: $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} $ |
| Решение |
|
Решение проводим стандартно, подставляя икс. $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \frac{\infty}{\infty} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'}= $$ $$ =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $$ |
| Пример 3 |
| Используя формулу Лопиталя, найти предел $ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} $ |
| Решение |
|
$$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\cos x-1}{x^2} = \frac{0}{0} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{(\cos x-1)'}{(x^2)'}= $$ $$ =\lim \limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \frac{0}{0}=\lim \limits_{x \to 0} \frac{(-\sin x)'}{(2x)'}= $$ $$ =\lim \limits_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-\cos 0}{2} = -\frac{1}{2} $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} $$ |
| Пример 4 |
| Вычислить предел, используя правило Лопиталя $ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} $ |
| Решение |
|
$$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} = \frac{0}{0}= $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{(\sin 2x-e^{5x}+1)'}{(x-\cos x+1)'} = $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{(\sin 2x)'-(e^{5x})'+(1)'}{(x)'-(\cos x)'+(1)'}= $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{2\cos 2x-5e^{5x}}{1+\sin x} =\frac{2\cos0-5e^0}{1+\sin 0}= $$ $$ =\frac{2\cdot 1-5\cdot 1}{1+0} = \frac{-3}{1} = -3 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} = -3 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ