Примеры решений нахождения предела функции

Нахождение всегда следует начинать с подстановки значения $x$, расположенного под значком предела в функцию. В данном задании подставляем $x=1$ в дробь.

$$ \lim\limits_{x\to 1} \frac{3x^2+1}{4x-1} = \frac{3\cdot 1^2 + 1}{4\cdot 1-1} = \frac{4}{3} $$

Подставляем $x=3$ в предел и получаем неопределенность ноль делить на ноль.

$$\lim\limits_{x\to 3} \frac{\sqrt{4x-3}-3}{x^2-9} = \frac{0}{0}$$

Это означает, что прямо так сразу как в предыдущем примере получить ответ не удастся. Сначала нужно избавиться от неопределенности путем уничтожения корня. Для этого умножим и разделим одновременно дробь на сопряженное число к числителю, отличающееся от него только знаком.

$$\lim\limits_{x\to 3} \frac{\sqrt{4x-3}-3}{x^2-9} = \lim\limits_{x\to 3} \frac{(\sqrt{4x-3}-3)(\sqrt{4x-3}+3)}{(x^2-9)(\sqrt{4x-3}+3)} = $$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для упрощения выражения в числителе дроби.

$$ = \lim\limits_{x\to 3} \frac{4x-3-9}{(x^2-9)(\sqrt{4x-3}+3)} = \lim\limits_{x\to 3} \frac{4(x-3)}{(x^2-9)(\sqrt{4x-3}+3)} = $$

Распишем в знаменателе разность квадратов и затем сократим на $x-3$ числитель и знаменатель.

$$ = \lim\limits_{x\to 3} \frac{4(x-3)}{(x-3)(x+3)(\sqrt{4x-3}+3)} = \lim\limits_{x\to 3} \frac{4}{(x+3)(\sqrt{4x-3}+3)} = $$

Снова пробуем подставить $x=3$ в предел и получаем ответ.

$$ = \frac{4}{(3+3)(\sqrt{4\cdot 3-3}+3)} = \frac{4}{6 \cdot 6} = \frac{1}{9} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Подставляя в предел точку $x=\infty$ имеем неопределенность бесконечность делить на бесконечность.

$$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{2x^5+3x^4+x^3+1}{x^5+10x^4+5} = \frac{\infty}{\infty} $$

Вынесем за скобки в числителе и знаменателе старшие степени $x$.

$$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{2x^5+3x^4+x^3+1}{x^5+10x^4+5} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^5(2+\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5})}{x^5(1+\frac{10}{x}+\frac{5}{x^5})} = $$

Выполняем сокращение дроби на $x^5$. Затем, зная что по определению $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$ проводим вычисление до самого ответа.

$$ = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{2+\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}}{1+\frac{10}{x}+\frac{5}{x^5}} = \frac{2+3 \cdot 0 + 0 + 0}{1+10 \cdot 0 + 5 \cdot 0} = \frac{2}{1} = 2 $$

При подстановке $x=0$ в функцию получаем неопределенность ноль делить на ноль. Избавимся от нее с помощью первого замечательного предела $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Преобразуем выражение в числителе под эту формулу.

$$\sin 3x = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x $$

Тогда выполнив замену в числителе на полученное преобразование получаем новый предел.

$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{4x\sin 3x}{x^2} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{4x \cdot \frac{\sin 3x}{3x}\cdot 3x}{x^2} = $$

Итак, замечаем, что $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ и упрощаем предел.

$$ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{4x \cdot 3x}{x^2} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{12x^2}{x^2} = 12$$

При подстановке $x=\infty$ в дробь получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность.

$$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \frac{\infty}{\infty} $$

Этот предел очень удобно и быстро вычислить по правилу Лопиталя $\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Словами оно означает, что предел отношения двух функций равен пределу отношения производных от этих функций. То есть производная нужно для того, чтобы избавиться от неопределенностей $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.

$$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{(x^2)'}{(e^x)'} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{2x}{e^x} = $$

Если снова подставить $x=\infty$ в последний предел, то окажется, что неопределенность никуда не пропала. Но можно повторить действия ещё раз для последнего предела и тем самым получить числовой ответ.

$$ = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{(2x)'}{(e^x)'} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{2}{e^x} = (\frac{2}{\infty}) = 0 $$