Угол между векторами
Угол между векторами — это наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он стал сонаправлен с другим. Обозначается обычно как $\varphi$ или $\theta$.
Скалярное произведение векторов — основа для вычисления угла. Для векторов $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$ оно вычисляется так:
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z. $$
Формула для нахождения угла
Угол $\varphi$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:
$$ \cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}, $$ где:
- $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение;
- $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов.
После вычисления $\cos \varphi$ находим угол:
$$ \varphi = \arccos(\cos \varphi). $$
Важно! Результат $\arccos$ даётся в радианах. Чтобы перевести в градусы, используйте формулу:
$$ \varphi_{\text{град}} = \varphi_{\text{рад}} \cdot \frac{180}{\pi}. $$
Алгоритм решения
- Определите координаты векторов (если они заданы точками — найдите разности координат).
- Вычислите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- Найдите длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.
- Подставьте значения в формулу для $\cos \varphi$.
- Вычислите угол $\varphi = \arccos(\cos \varphi)$.
- Переведите в градусы (если требуется).
- Запишите ответ с указанием единиц измерения.
Примеры решений
Найти угол между векторами $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (-1; 2)$.
- Векторы заданы координатами (плоскость): $$\vec{a} = (3; 4), \space \vec{b} = (-1; 2).$$
- Скалярное произведение: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = -3 + 8 = 5.$$
- Длины векторов: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5;$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.$$
- Вычисляем $\cos \varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{5}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}4472.$$
- Находим угол: $$ \varphi = \arccos(0{,}4472) \approx 1{,}107 \text{ рад}. $$
- Переводим в градусы: $$ \varphi_{\text{град}} = 1{,}107 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 63{,}4^\circ. $$
$ \varphi_{\text{град}} = 63{,}4^\circ. $
Векторы заданы точками (пространство): $A(1; 0; 2)$, $B(3; 1; -1)$, $C(0; -1; 1)$, $D(2; 0; 4)$. Найти угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$.
- Находим координаты векторов: $$\overrightarrow{AB} = (3-1; 1-0; -1-2) = (2; 1; -3);$$$$\overrightarrow{CD} = (2-0; 0-(-1); 4-1) = (2; 1; 3).$$
- Скалярное произведение:
$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + (-3) \cdot 3 = 4 + 1 - 9 = -4. $$ - Длины векторов:
$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14};$$$$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}.$$ - Вычисляем $\cos \varphi$:
$$ \cos \varphi = \frac{-4}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7} \approx -0{,}2857. $$ - Находим угол:
$$ \varphi = \arccos(-0{,}2857) \approx 1{,}860 \text{ рад}. $$ - Переводим в градусы:
$$ \varphi_{\text{град}} = 1{,}860 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 106{,}6^\circ. $$ - Ответ: угол между векторами ≈ $106{,}6^\circ$.
$ \varphi_{\text{град}} \approx 106{,}6^\circ. $
Проверить коллинеарность векторов $\vec{u} = (2; -4; 6)$ и $\vec{v} = (-1; 2; -3)$.
- Координаты уже даны: $\vec{u} = (2; -4; 6)$, $\vec{v} = (-1; 2; -3)$.
- Скалярное произведение: $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + (-4) \cdot 2 + 6 \cdot (-3) = -2 - 8 - 18 = -28. $$
- Длины векторов: $$|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14};$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}.$$
- Вычисляем $\cos \varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{-28}{2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-28}{2 \cdot 14} = \frac{-28}{28} = -1. $$
- Находим угол: $$ \varphi = \arccos(-1) = \pi \text{ рад} = 180^\circ. $$
- Угол между векторами = $180^\circ$, значит, векторы коллинеарны.
Векторы коллинеарные $ \varphi = 180^\circ. $