Длина вектора
Длина (модуль) вектора — расстояние между его началом и концом. Обозначается $|\vec{a}|$ или $a$.
Основные формулы
- Вектор на плоскости $\vec{a} = (a_x; a_y)$: $$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}. $$
- Вектор в пространстве $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$: $$ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}. $$
- Вектор по точкам на плоскости ($A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$): $$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. $$
- Вектор по точкам в пространстве ($A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2)$): $$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. $$
- По теореме косинусов (известны $a$, $b$ и угол $\gamma$ между ними): $$ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma}. $$
Алгоритм решения
- Определите, где задан вектор: на плоскости (2 координаты) или в пространстве (3 координаты).
- Выясните, как задан вектор: координатами, точками начала и конца или через другие векторы и угол.
- Выберите соответствующую формулу.
- Подставьте известные значения.
- Вычислите: возведите в квадрат, сложите, извлеките корень.
- Запишите ответ.
Примеры решений
Пример 1
Найти длину вектора $\vec{a} = (-3; 4)$.
Решение
- Определяем размерность. Вектор задан двумя координатами ($-3$ и $4$), значит, это плоскость (2D).
- Устанавливаем способ задания. Вектор задан напрямую своими координатами: $\vec{a} = (a_x; a_y)$, где $a_x = -3$, $a_y = 4$.
- Выбираем формулу. Для вектора на плоскости с координатами: $$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}. $$
- Подставляем значения. $$ |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2}. $$
- Выполняем вычисления. $$(-3)^2 = 9$$ $$4^2 = 16$$ $$9 + 16 = 25$$ $$\sqrt{25} = 5$$
- Записываем ответ. $$ |\vec{a}| = 5. $$
Ответ
$$ |\vec{a}| = 5 $$
Пример 2
Вычислить длину вектора $\vec{b} = (4; -3; 5)$.
Решение
- Определяем размерность. Вектор имеет три координаты ($4$, $-3$, $5$), значит, это пространство (3D).
- Устанавливаем способ задания. Вектор задан напрямую своими координатами: $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$, где $b_x = 4$, $b_y = -3$, $b_z = 5$.
- Выбираем формулу. Для вектора в пространстве с координатами: $$ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}. $$
- Подставляем значения. $$ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2}. $$
- Выполняем вычисления. $$4^2 = 16$$ $$(-3)^2 = 9$$ $$5^2 = 25$$ $$16 + 9 + 25 = 50$$ $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$
- Записываем ответ. $$ |\vec{b}| = 5\sqrt{2}. $$
Ответ
$$ |\vec{b}| = 5\sqrt{2} $$
Пример 3
Даны точки $A(3; -2; -1)$ и $B(1; 2; -5)$. Найти длину $|\overrightarrow{AB}|$.
Решение
- Определяем размерность. Точки имеют три координаты, значит, работаем в пространстве (3D).
- Устанавливаем способ задания. Вектор задан через координаты начальной ($A$) и конечной ($B$) точек.
- Выбираем формулу. Для вектора по точкам в пространстве: $$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. $$
- Подставляем значения. Сначала находим разности координат: $$x_2 - x_1 = 1 - 3 = -2$$ $$y_2 - y_1 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$$ $$z_2 - z_1 = -5 - (-1) = -5 + 1 = -4$$ Теперь подставляем в формулу: $$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2}. $$
- Выполняем вычисления. $$(-2)^2 = 4$$ $$4^2 = 16$$ $$(-4)^2 = 16$$ $$4 + 16 + 16 = 36$$ $$\sqrt{36} = 6$$
- Записываем ответ. $$ |\overrightarrow{AB}| = 6. $$
Ответ
$$ |\overrightarrow{AB}| = 6. $$
Пример 4
Длины векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равны $3$ и $7$ соответственно, угол между ними $\frac{\pi}{3}$. Найти длину вектора $\overrightarrow{BC}$.
Решение
- Определяем размерность. Задача решается через длины и угол, размерность пространства не важна.
- Устанавливаем способ задания. Вектор $\overrightarrow{BC}$ нужно найти через длины двух других векторов ($\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$) и угол между ними.
- Выбираем формулу. Используем теорему косинусов: $$ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma}, $$ где $a = |\overrightarrow{AB}| = 3$, $b = |\overrightarrow{AC}| = 7$, $\gamma = \frac{\pi}{3}$.
- Подставляем значения. $$ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{3^2 + 7^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \cos\frac{\pi}{3}}. $$
- Выполняем вычисления. $$3^2 = 9$$ $$7^2 = 49$$ $$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$ $$2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 21$$ $$9 + 49 - 21 = 37$$ $$\sqrt{37}$$ остаётся в таком виде (не упрощается).
- Записываем ответ. $$ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{37}$$
Ответ
$$ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{37}$$
Мы разобрали ключевые способы нахождения длины вектора — от простейших случаев с заданными координатами до более сложных задач с использованием теоремы косинусов.