Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел выполняется по различным формулам в зависимости от формы записи.

Формула умножения в алгебраической форме

Умножение производится путём поэлементного перемножения с раскрытием скобок по формуле с учётом того, что $ i^2 = -1 $:

$$ z_1 \cdot z_2 = (x_1+y_1i) \cdot (x_2 + y_2i) = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2) + (x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)i $$

Формула умножения в показательной форме

Произведение находится путем прямого перемножения всех членов:

$$ z_1 \cdot z_2 = r_1e^{\varphi_1 i} \cdot r_2e^{\varphi_2 i} = r_1\cdot r_2 \cdot e^{(\varphi_1+\varphi_2)i} $$

Формула умножения в тригонометрической форме

Для перемножения справедливо равенство:

$$ z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot (\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) $$

Примеры решений

Пример 1
Выполнить умножение комплексных чисел: $ z_1 = 3+i $ и $ z_2 = 2-3i $
Решение
$$ z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i) = $$ Раскрываем скобки поэлементно перемножая множители: $$ = (3 \cdot 2 + 3 \cdot (-3i) + i \cdot 2 + i \cdot (-3i) = $$ Упрощаем выражение с учётом того, что $ i^2 = -1 $: $$ = 6 - 9i + 2i + 3 = 9 - 7i $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ z_1 \cdot z_2 = 9 - 7i $$

Пример 2
Перемножить комплексные числа: $ z_1 = 3e^{\frac{\pi}{2}i} $ и $ z_2 = 2e^{\frac{\pi}{3}i} $
Решение
$$ z_1 \cdot z_2 = 3e^{\frac{\pi}{2}i} \cdot 2e^{\frac{\pi}{3}i} = $$ Перегрупировываем множители и используем свойство степени $ e^x \cdot e^y = e^{x+y} $: $$ = 3 \cdot 2 \cdot e^{(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})i} = 6e^{\frac{5\pi}{6}i} $$
Ответ
$$ z_1 \cdot z_2 = 6e^{\frac{5\pi}{6}i} $$

Пример 3
Умножить числа $$ z_1 = 2\bigg (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \bigg ) \text{и} z_2 = 4 \bigg (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4} \bigg ) $$
Решение
При умножении в тригонометрической форме складываются аргументы и перемножаются модули: $$ z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 4 \cdot \bigg ( \cos (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) + i\sin (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) \bigg ) = 8 \bigg (\cos \frac{7}{12} + i\sin \frac{7}{12} \bigg ) $$
Ответ
$$ z_1 \cdot z_2 = 8 \bigg (\cos \frac{7}{12} + i\sin \frac{7}{12} \bigg ) $$