Как решать системы уравнений методом Крамера
Одним из методов решения систем линейных уравнений является метод Крамера. Используется для нахождения решения систем, в которых количество строк равно количеству неизвестных.
$$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases} $$
Алгоритм решения начинается с того, что из системы уравнений составляется матрица $$ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$ и столбец свободных членов $$ B = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} $$
Далее вычисляется основной определитель матрицы $$ \Delta = |A| = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}$$ и дополнительные $ \Delta_i $ $$\Delta_1 = \begin{vmatrix} b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}; \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11}&b_1&a_{13}\\a_{21}&b_2&a_{23}\\a_{31}&b_3&a_{33} \end{vmatrix}; \Delta_3 = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\\a_{31}&a_{32}&b_3 \end{vmatrix}$$
Они получились путем поочередного замещения столбцов основного определителя $\Delta$ на столбец свободных членов $ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} $
В итоге находим неизвестные в системе линейных уравнений по формулам Крамера: $$ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} $$
Важное замечание! Если получается $ \Delta = 0 $, тогда система не может быть решена методом Крамера! И нужно применить другой способ. Например, метод Гаусса.
| Пример 1 |
| Решить систему уравнений методом Крамера: $$ \begin{cases} 3x_1+x_2+2x_3 = 4\\-x_1+2x_2-3x_3 = 1\\-2x_1+x_2+x_3=-2 \end{cases} $$ |
| Решение |
|
Составляем матрицу $ A = \begin{pmatrix} 3&1&2\\-1&2&-3\\-2&1&1 \end{pmatrix} $ и выписываем столбец свободных членов $ b = \begin{pmatrix} 4\\1\\-2 \end{pmatrix} $ Вычисляем главный определитель матрицы: $$ \Delta = |A| = \begin{vmatrix} 3&1&2\\-1&2&-3\\-2&1&1 \end{vmatrix} = 6 + 6 -2 +8 + 1 + 9 = 28 $$ Замечаем, что $ \Delta = 28 \ne 0 $, то систему можно решить методом Крамера. Вычисляем первый дополнительный определитель $ \Delta_1 $. Подставляем столбец свободных членов $ b = \begin{pmatrix} 4\\1\\-2 \end{pmatrix} $ на место первого столбца в основной матрице: $$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 4&1&2\\1&2&-3\\-2&1&1 \end{vmatrix} = 8 +6 +2 + 8 -1 +12 = 35 $$ Аналогично вычислим $ \Delta_2 $: $$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 3&4&2\\-1&1&-3\\-2&-2&1 \end{vmatrix} = 3 + 24 + 4 + 4 -18 +4 = 21 $$ Точно также находим $ \Delta_3 $: $$ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 3&1&4\\-1&2&1\\-2&1&-2 \end{vmatrix} = -12 -2 -4 +16 -3 -2 = -7 $$ По формуле Крамера: $$ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{35}{28} = \frac{5}{4} $$ $$ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} $$ $$ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-7}{28} = -\frac{1}{4} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ x_1 = \frac{5}{4}; x_2 = \frac{3}{4}; x_3 = -\frac{1}{4} $$ |
| Пример 2 |
|
Решить систему методом Крамера: $$ \begin{cases} x+y-2z = 2\\2x-3y-z = 1\\x-4y+z=3 \end{cases} $$ |
| Решение |
|
Попробуем решить методом Крамера. Найдем основной определитель системы уравнений: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 1&1&-2\\2&-3&-1\\1&-4&1 \end{vmatrix} = -3 -1 +16 -6 -4 -2 = 0 $$ Внимание! Получили $ \Delta = 0 $, а это означает, что данную систему нельзя решить методом Крамера. Алгоритм завершает свою работу. Советуем воспользоваться другим методом для решения, например, матричным методом или Гаусса. |
| Ответ |
| Метод Крамера нельзя применить к данной системе линейных уравнений |