Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Признак Лейбница

Сходимость знакочередующихся рядов

Сходимость знакочередующегося ряда $ \sum_{n = 1} ^\infty (-1)^n a_n $ задаётся двумя условиями признака Лейбница:

  1. Ряд знакочередующийся
  2. Члены ряда по модулю монотонно убывают, то есть $ \lim_{n\to \infty} |a_n| = 0 $

Стоит обратить внимание на то, что знакочередующийся и знакопеременный ряд это две разные вещи. Признак Лейбница работает только для знакочередующегося ряда. Чтобы прочувствовать разницу приведем оба вида ряда.

Знакопеременный ряд:

$$ 1+2-3+5+7-9+... $$

Знакочередующийся ряд:

$$ -1+2-3+5-7+9-... $$

Во втором случае знаки плюс и минус чередуют друг друга. А в первом случае чередование нарушается и появляются по два положительных члена подряд.

Примеры решений

Пример 1
Исследовать знакочередующийся ряд на сходимость: $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n (n+1) $$
Решение

Обращаем в первую очередь на то, что в общем члене ряда присутствует элемент $ (-1)^n $, который говорит о том, что знаки членов ряда разные в зависимости от порядкового номера $ n $. Распишем ряд более подробно, чтобы убедиться в том, что он знакочередующийся:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (n+1) = -2 + 3 - 4 + 5 - ... $$

Теперь используя признак Лейбница устанавливаем сходимость или расходимость числового ряда:

1) Ряд знакочередующийся

2) $ \lim_{n\to\infty} |a_n| = \lim_{n\to\infty} |(-1)^n (n+1)| = \lim_{n\to\infty} (n+1) = \infty $

Так как второе условие не выполнено, то значит, ряд расходится.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
Ряд расходится
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2

Исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд:

$$ \sum_{n=1} ^\infty \frac{(-1)^n}{3n+1} $$

Решение

Выписываем общий член ряда и убеждаемся в том, что он знакочередующийся:

$$ a_n = (-1)^n \frac{1}{3n+1} $$

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{3n+1} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{13} - ... $$

Проверяем условия:

1) Ряд знакочередующийся

2) $ \lim_{n\to\infty} |a_n| = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3n+1} = \frac{1}{\infty} = 0 $

Общий член ряда монотонно убывает, что показало второе условие благодаря вычислению предела. Признак Лейбница выполнен, значит, доказана сходимость ряда.

Ответ
Ряд сходится

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ