Как найти обратную матрицу

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A \neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 \times 2$

Пусть задана матрица $A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = \frac{1}{det A} \begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \end{pmatrix}.$$

Пример 1
Найти обратную матрицу для $A = \begin{pmatrix} 3&4 \\ 5&9 \end{pmatrix}$.
Решение
Первым делом вычисляем определитель и убеждаемся, что он не равен нулю $$det A = \begin{vmatrix} 3&4 \\ 5&9 \end{vmatrix} = 3\cdot9 - 4\cdot5 = 27 - 20 = 7.$$ Итак, определитель не равен нулю, значит, обратная матрица существует. Продолжаем наш алгоритм. Меняем элементы на главной диагонали местами, а у оставшихся элементов меняем знак на противоположный. $$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 9&-4 \\ -5&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{9}{7}&\frac{-4}{7} \\ \frac{-5}{7}&\frac{3}{7} \end{pmatrix}.$$
Ответ
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{9}{7}&\frac{-4}{7} \\ \frac{-5}{7}&\frac{3}{7} \end{pmatrix}$$

Пример 2
Вычислить обратную матрицу для $A = \begin{pmatrix} 2&-1 \\ 4&-6 \end{pmatrix}$.
Решение
Находим определитель $$det A = \begin{vmatrix} 2&-1 \\ 4&-6 \end{vmatrix} = 2\cdot(-6) - 4\cdot(-1) = -12 + 4 = -8.$$ Меняем местами элементы главной диагонали, а остальным меняем знак на противоположный. Не забываем затем каждый элемент разделить на определитель. $$A^{-1} = \frac{1}{-8} \begin{pmatrix} -6&1 \\ -4&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-6}{-8}&\frac{1}{-8} \\ \frac{-4}{-8}&\frac{2}{-8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4}&-\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{4} \end{pmatrix}$$
Ответ
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4}&-\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

Решение задач от 25 руб подробное написание Контрольные работы от 200 руб подробное написание

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ \Bigg (\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \Bigg | \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{matrix} \Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ \Bigg (\begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{matrix} \Bigg | \begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{matrix} \Bigg ) $$

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{pmatrix}$$

Пример 3
Найдите обратную матрицу элементарными преобразованиями $$A = \begin{pmatrix} 2&-1&0 \\ 0&2&-1 \\ -1&-1&1 \end{pmatrix}.$$
Решение
Вычисляем определитель матрицы, чтобы убедиться что он не равен нулю $$det A = \begin{vmatrix} 2&-1&0 \\ 0&2&-1 \\ -1&-1&1 \end{vmatrix} = 4-1+0-0-2-0=1 \neq 0.$$ Выписываем основную матрицу и добавляем справа единичную матрицу. $$\begin{pmatrix} 2&-1&0 &\|& 1&0&0 \\ 0&2&-1 &\|& 0&1&0 \\ -1&-1&1 &\|& 0&0&1 \end{pmatrix}$$ Проводим элементарные преобразования над строками матриц таким образом, чтобы слева получилась единичная матрица. В то же время как справа получим обратную матрицу. Умножаем третью строку на 2 и прибавляем первую. $$\begin{pmatrix} 2&-1&0 &\|& 1&0&0 \\ 0&2&-1 &\|& 0&1&0 \\ 0&-3&2 &\|& 1&0&2 \end{pmatrix}$$ Умножаем третью строку на 2 и прибавляем к ней вторую строку, умноженную на 3. $$\begin{pmatrix} 2&-1&0 &\|& 1&0&0 \\ 0&2&-1 &\|& 0&1&0 \\ 0&0&1 &\|& 2&3&4 \end{pmatrix}$$ Теперь запускаем обратный ход преобразований снизу вверх. Ко второй строке прибавляем третью. $$\begin{pmatrix} 2&-1&0 &\|& 1&0&0 \\ 0&2&0 &\|& 2&4&4 \\ 0&0&1 &\|& 2&3&4 \end{pmatrix}$$ Умножаем первую строку на 2 и прибавляем к ней вторую строчку матрицы. $$\begin{pmatrix} 4&0&0 &\|& 4&4&4 \\ 0&2&0 &\|& 2&4&4 \\ 0&0&1 &\|& 2&3&4 \end{pmatrix}$$ Теперь, чтобы слева получилась единичная матрица нужно первую строку разделить на 4, вторую на 2. $$\begin{pmatrix} 1&0&0 &\|& 1&1&1 \\ 0&1&0 &\|& 1&2&2 \\ 0&0&1 &\|& 2&3&4 \end{pmatrix}$$ Справа как видим получилась обратная матрица $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&2&2 \\ 2&3&4 \end{pmatrix}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&2&2 \\ 2&3&4 \end{pmatrix}$$

Пример 4
Дана матрица, найти обратную $$A = \begin{pmatrix} 3&2&1 \\ 1&0&2 \\ 4&1&3 \end{pmatrix}.$$
Решение
Первым делом вычисляем определитель, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы $$det A = \begin{vmatrix} 3&2&1 \\ 1&0&2 \\ 4&1&3 \end{vmatrix} = 0+16+1-0-6-6=5.$$ Теперь справа от матрицы дописываем единичную матрицу $$\begin{pmatrix} 3&2&1 &\|& 1&0&0 \\ 1&0&2 &\|& 0&1&0 \\ 4&1&3 &\|& 0&0&1 \end{pmatrix}.$$ Теперь с помощью элементарных преобразований делаем так, чтобы слева стояла единичная матрица. А справа получим одновременно обратную матрицу. Умножаем вторую строку на 3 и вычитаем из неё первую. Умножаем третью строчку на 3 и вычитаем первую, умноженную на 4. $$\begin{pmatrix} 3&2&1 &\|& 1&0&0 \\ 0&-2&5 &\|& -1&3&0 \\ 0&-5&5 &\|& -4&0&3 \end{pmatrix}$$ Умножаем третью строку на 2 и вычитаем вторую, умноженную на 5. $$\begin{pmatrix} 3&2&1 &\|& 1&0&0 \\ 0&-2&5 &\|& -1&3&0 \\ 0&0&-15 &\|& -3&-15&6 \end{pmatrix}$$ Третью строку можно разделить на 3, чтобы уменьшить числа для дальнейшего удобства. Сделаем это. $$\begin{pmatrix} 3&2&1 &\|& 1&0&0 \\ 0&-2&5 &\|& -1&3&0 \\ 0&0&-5 &\|& -1&-5&2 \end{pmatrix}$$ Начинаем проводить преобразования над строками теперь снизу вверх. Умножаем первую строку на 5 и прибавляем к ней третью. Ко второй строке просто прибавляем третью. $$\begin{pmatrix} 15&10&0 &\|& 4&-5&2 \\ 0&-2&0 &\|& -2&-2&2 \\ 0&0&-5 &\|& -1&-5&2 \end{pmatrix}$$ К первой строке прибавляем вторую, умноженную на 5. $$\begin{pmatrix} 15&0&0 &\|& -6&-15&12 \\ 0&-2&0 &\|& -2&-2&2 \\ 0&0&-5 &\|& -1&-5&2 \end{pmatrix}$$ Осталось разделить первую строку на 15, вторую на (-2), а третью на (-5). $$\begin{pmatrix} 1&0&0 &\|& -\frac{2}{5}&-1&\frac{4}{5} \\ 0&1&0 &\|& 1&1&-1 \\ 0&0&1 &\|& \frac{1}{5}&1&-\frac{2}{5} \end{pmatrix}$$
Ответ
$$\begin{pmatrix} 1&0&0 &\|& -\frac{2}{5}&-1&\frac{4}{5} \\ 0&1&0 &\|& 1&1&-1 \\ 0&0&1 &\|& \frac{1}{5}&1&-\frac{2}{5} \end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{22}&A_{33} \end{pmatrix}, \text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5
Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = \begin{pmatrix} 3&1&2\\-1&3&-2\\0&-1&4 \end{pmatrix} $$
Решение
Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = \frac{1}{\|A\|} (A^)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ \|A\| = \begin{vmatrix} 3&1&2\\-1&3&-2\\0&-1&4 \end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 - 0 - 6 + 4 = 36 \neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3&-2\\-1&4 \end{vmatrix} = 12 - 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} -1&-2\\0&4 \end{vmatrix} = -(-4 - 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} -1&3\\0&-1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 1&2\\-1&4 \end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 3&2\\0&4 \end{vmatrix} = 12 - 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 3&1\\0&-1 \end{vmatrix} = -(-3 - 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 1&2\\3&-2 \end{vmatrix} = -2 - 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 3&2\\-1&-2 \end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 3&1\\-1&3 \end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^ $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = \begin{pmatrix} 10&4&1\\-6&12&3\\-8&4&10 \end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^)^T $: $$ (A^)^T = \begin{pmatrix} 10&-6&-8\\4&12&4\\1&3&10 \end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 10&-6&-8\\4&12&4\\1&3&10 \end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$\begin{pmatrix} \frac{5}{18}&-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\\ \frac{1}{9}&\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{36}&\frac{1}{12}&\frac{5}{18} \end{pmatrix}.$$
Ответ
$$A^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{5}{18}&-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\\ \frac{1}{9}&\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{36}&\frac{1}{12}&\frac{5}{18} \end{pmatrix}$$