Объем тела вращения вокруг оси Ox
Для того, чтобы найти объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox нужно вычислить определенный интеграл от квадрата функции, задающей график и умножить на число Пи.
$$ V = \pi \int_a^b y^2 dx $$
В формуле $ a $ и $ b $ значения отложены по оси Ox. Фукция $ y (x) $ задаёт график фигуры, объем вращения которой необходимо вычислить.
- Строим график фигуры
- Вычисляем определенный интеграл
| Пример 1 |
| Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox: $ y = x^2 $ и $ a = 2, b = 3 $ |
| Решение |
|
Выполняем построение графика. Чертим на плоскости параболу $ y = x^2 $. Выставляем на чертеже оранжевые линии, соответствующие ограничениям $ a = 2, b = 3 $. Закрашиваемая область желтым цветом выделяет фигуру, объем вращения которой будем искать.
Подставляем в формулу функцию $ y = x^2 $ и пределы интегрирования. Вычисляем определенный интеграл $$ V = \pi \int_2^3 (x^2)^2 dx = \pi \int_2^3 x^4 dx = $$ Для взятия интеграла воспользуемся формулой $ \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} $ $$ = \pi \frac{x^5}{5} \bigg |_2^3 = \pi \frac{243}{5} - \pi \frac{32}{5} = \frac{211}{5} \pi = 132.5 $$ Получили объем фигуры $ V = 132.5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ V = 132.5 $$ |
| Пример 2 |
| Найти объем тела вращения фигуры вокруг оси Ox, заданной двумя функциями $$ y = x^2, y = x^3 $$ |
| Решение |
|
В данном примере необходимо найти точки пересечения двух графиков функций. Приравниваем их друг к другу и решаем уравнение относительно одной переменной $ x $: $$ x^2 = x^3 $$ Переносим всё в одну строну $$ x^3 - x^2 = 0 $$ Выносим за скобку неизвестную $ x^2 $ и получаем корни уравнения: $$ x^2(x-1) = 0 $$ $$ x^2 = 0, x-1=0 $$ $$ x_1=0, x_2=1 $$ Выполняем построение графиков функций для наглядности. На рисунке закрашиваем область, ограниченную двумя функциями.
Для того, чтобы найти объем тела вращения, заданного с помощью двух функций, необходимо воспользоваться идеей разности объемов. А имеенно, находим сначала объем фигуры вращения, заданной функцией $ y = x^2 $, затем отдельно $ y = x^3 $. $$ V_1 = \pi \int_0^1 (x^2)^2 dx = \pi \frac{x^5}{5} \bigg |_0^1 = \frac{\pi}{5} $$ $$ V_2 = \pi \int_0^1 (x^3)^2 dx = \pi \frac{x^7}{7} \bigg |_0^1 = \frac{\pi}{7} $$ Получаем искомый объем с помощью разности объемов $$ V = V_1 - V_2 = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{35} $$ |
| Ответ |
| $$ V = \frac{2\pi}{35} $$ |
