Метод подведения под знак дифференциала
Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, то можно воспользользоваться методом подведения под знак диференциала. Таким образом можно получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: $$ f'(x) dx = d( f(x) ) $$
Решение интеграла будет выглядеть следующим образом:
$$ \int f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$
Подведение основных функций
Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:
| $ dx = d(x+c), c=const $ | $ -\sin x dx=d(\cos x) $ |
| $ dx=\frac{1}{a} d(ax) $ | $ \cos x dx = d(\sin x) $ |
| $ xdx=\frac{1}{2} d(x^2+a) $ | $ \frac{dx}{x} = d(\ln x) $ |
| $ -\frac{dx}{x^2}= d(\frac{1}{x}) $ | $ \frac{dx}{\cos^2 x} = d(tg x) $ |
| $$ \int f(kx+b)dx = \frac{1}{k} \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac{1}{k} F(kx+b) + C $$ | |
| Пример 1 |
| Найти интеграл методом подведения под дифференциал $$ \int \sin x \cos x dx $$ |
| Решение |
|
В данном примере можно занести под знак дифференциала любую из предложенных функций, хоть синус, хоть косинус. Для того, чтобы не путаться со сменой знаков удобнее занести $ \cos x $. Используя формулы имеем: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найдите интеграл подведением под знак дифференциала $ \int \frac{dx}{x+5} $ |
| Решение |
|
В данном примере нужно внести под знак дифференциала $ x+5 $. Используя формулы внесения получаем: $$ \int \frac{dx}{x+5} = \int \frac{d(x+5)}{x+5} = \ln |x+5| + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{dx}{x+5} = \ln |x+5| + C $$ |
| Пример 3 |
| Решить интеграл $ \int \frac{xdx}{x^2+1} $ |
| Решение |
|
В таких случаях числитель подынтегральной функции является дифференциалом знаменателя. Убедиться в этом можно взяв производную знаменателя: $ d(x^2+1) = 2x dx $. После дифференцирования в правой части появляется наш числитель с множителем два. Из формул внесений следует, что от двойки нужно избавиться путем домножения интеграла на $ \frac{1}{2} $. Пробуем: $$ \int \frac{xdx}{x^2+1} = \frac{1}{2} \int \frac{2xdx}{x^2+1}= \frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1} = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{xdx}{x^2+1} = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C $$ |
| Пример 4 |
| Решите интеграл, выполнив внесение под дифференциал $ \int ctg x dx $ |
| Решение |
|
Так как котангенс интеграл не табличный, то его попробуем решить методом подведения под знак дифференциала. Но прежде, катангенс нужно выразить через отношения косинуса с синусом. Известно, что $ ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $ Получаем интеграл $ \int ctg x dx = \int \frac{\cos x dx}{\sin x} $. Под знак дифференциала перенесем косинус: $$ \int \frac{\cos x dx}{\sin x} = \int \frac{d(\sin x)}{\sin x} = \ln |\sin x| + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{\cos x dx}{\sin x} = \ln |\sin x| + C $$ |
| Пример 5 |
| Решите интеграл методом внесения под знак дифференциала $ \int x^2 \cos x^3 dx $ |
| Решение |
|
В примерах этого типа внесение нужно для квадрата икса, чтобы остался только косинус под интегралом. Для этого нужно понимать, что: $$ x^2 dx = \frac{1}{3} d(x^3) $$ Подставив эту "замену" в исходный интеграл легко найдем ответ для задачи: $$ \int x^2 \cos x^3dx = \frac{1}{3}\int \cos x^3 d(x^3) = \frac{1}{3} \sin x^3 + C $$ |
| Ответ |
|
$$ \int x^2 \cos x^3 dx = \frac{1}{3} \sin x^3 + C $$ |