Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Комплексно-сопряженные числа

Формула

Комплексно-сопряженным числом к числу $ z = a + bi $ называется число вида: $$ z = a-bi $$ Другими словами такие числа отличаются друг от друга только противоположными знаками мнимой части.

Свойства

  1. Действительное число комплексно-сопряжено самому себе: $$ a + 0i = a - 0i $$
  2. Сумма комплексно-сопряженных чисел равна удвоейнной действительной части:
    $$ (a+bi) + (a-bi) = (a+a) + (b-b)i = 2a $$
  3. Разность комплексно-сопряженных чисел равна удвоенному произведению мнимой части и мнимой единицы: $$ (a+bi)-(a-bi) = (a-a) + (bi+bi) = 2bi $$
  4. Произведение комплексно-сопряженных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой части: $$ (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 $$

Примеры решений

Пример 1
Найти комплексно-сопряженное число к $$ z = 2+3i $$
Решение

По определению комплексно-сопряженные числа отличаются только противоположностью знака при мнимой части, поэтому меняем плюс на минус и записываем ответ:

$$ \overline{z} = 2 - 3i $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \overline{z} = 2 - 3i $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2

Найти сумму, разность и произведение комплексно-сопряженных чисел:

$$ z = 1+i ; \overline{z} = 1 - i $$

Решение

Выполняем сложение чисел:

$$ z + \overline{z} = (1+i)+(1-i)=(1+1)+(i-i)=2+0=2 $$

Находим разность:

$$ z - \overline{z} = (1+i)-(1-i)=(1-1)-(i+i)=0-2i=-2i $$

Выполняем умножение:

$$ z \cdot \overline{z} = (1+i) \cdot (1-i) = 1^2 + 1^2 = 1+1=2 $$

Ответ
$$ z + \overline{z} = 2; z - \overline{z} = -2i; z \cdot \overline{z} = 2 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ