Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Как найти обратную матрицу

Укажите размер матрицы

 

 

Чтобы найти обратную матрицу нужно воспользоваться одним из способов её нахождения: методом Гаусса или алгебраических дополнений. Первый вариант удобен для матриц любых размеров, а второй для матриц 2 на 2, 3 на 3 и 4 на 4. Стоит заметить, что обратная матрица обозначается (%f A^{-1} f%) и существует только для невырожденных матриц, при том только одна. Напомним, что матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю (%f \Delta \neq 0 f%). Это нужно всегда проверять при решении примеров.

Формула через алгебраические дополнения

(f A^{-1} = \frac{1}{|A|} (A^*)^T f)

Матрица (%f A^* f%) представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы (%f A f%):

(f A^* = \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{22}&A_{33} \end{pmatrix} f) (f A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} f)

(%f M_{ij} f%) называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания (%f i f%)-ой строки и (%f j f%)-того столбца из матрицы.

Нахождение методом Гаусса

Этот способ универсален и достаточно быстрый. Суть его состоит в том, что к основной матрице добавляется дополнительная (союзная) матрица. В качестве неё берется единичная матрица (%f E f%) с размерностью равной основной матрице:

(f \Bigg (\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \Bigg | \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{matrix} \Bigg ) f)

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую часть матрицу к единичной (%f T f%), а в правой одновременно с ней получится искомая обратная матрица:

(f \Bigg (\begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{matrix} \Bigg | \begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{matrix} \Bigg ) f)

(f A^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{pmatrix} f)

Примеры решений

Пример 1
Найти обратную матрицу (%f A^{-1} f%) методом алгебраических дополнений (f A = \begin{pmatrix} 3&1&2\\-1&3&-2\\0&-1&4 \end{pmatrix} f)
Решение

Итак, пользуемся формулой (%f A^{-1} = \frac{1}{|A|} (A^*)^T f%)

Находим алгебраические дополнения матрицы (%f A f%):

(f A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3&-2\\-1&4 \end{vmatrix} = 12 - 2 = 10 f)

(f A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} -1&-2\\0&4 \end{vmatrix} = -(-4 - 0) = 4 f)

(f A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} -1&3\\0&-1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 f)

(f A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 1&2\\-1&4 \end{vmatrix} = -(-4 - 0) = 4 f)

(f A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 3&2\\0&4 \end{vmatrix} = 12 - 0 = 12 f)

(f A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 3&1\\0&-1 \end{vmatrix} = -(-3 - 0) = 3 f)

(f A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 1&2\\3&-2 \end{vmatrix} = -2 - 6 = -8 f)

(f A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 3&2\\-1&-2 \end{vmatrix} = -(-6 - 2) = 8 f)

(f A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 3&1\\-1&3 \end{vmatrix} = 9+1 = 10 f)

Составляем матрицу алгебраических дополнений (%f A^* f%):

(f A^* = \begin{pmatrix} 10&4&1\\4&12&3\\-8&8&10 \end{pmatrix} f)

Транспонируем матрицу алгебраических дополнений и обозначаем (%f (A^*)^T f%):

(f (A^*)^T = \begin{pmatrix} 10&4&-8\\4&12&8\\1&3&10 \end{pmatrix} f)

Теперь вычисляем определитель матрицы (%f A f%):

(f |A| = \begin{vmatrix} 3&1&2\\-1&3&-2\\0&-1&4 \end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 - 0 - 6 + 4 = 36 f)

В итоге находим обратную матрицу (%f A^{-1} f%):

(f A^{-1} = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 10&4&-8\\4&12&8\\1&3&10 \end{pmatrix} f)

Ответ
(f A^{-1} = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 10&4&-8\\4&12&8\\1&3&10 \end{pmatrix} f)

 

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ