Косинус угла между векторами

Формула

Чтобы найти косинус угла между векторами нужно найти отношение скалярного произведения векторов и произведение их длин (модулей). Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ \overline{a}=(x_1;y_1) $ и $ \overline{b}=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2}\cdot \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2}} $$

Если векторы будут заданы тремя координатами $ \overline{a}=(x_1;y_1;z_1) $ и $ \overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то есть в пространстве, то нахождение косинуса угла между векторами нужно выполнить по формуле:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2 +z_1 ^2}\cdot \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2 + z_2 ^2}} $$

В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.

Примеры решений