Косинус угла между векторами
Формула
Чтобы найти косинус угла между векторами нужно найти отношение скалярного произведения векторов и произведение их длин (модулей). Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ \overline{a}=(x_1;y_1) $ и $ \overline{b}=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2}\cdot \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2}} $$
Если векторы будут заданы тремя координатами $ \overline{a}=(x_1;y_1;z_1) $ и $ \overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то есть в пространстве, то нахождение косинуса угла между векторами нужно выполнить по формуле:
$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2 +z_1 ^2}\cdot \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2 + z_2 ^2}} $$
В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.
Примеры решений
Пример |
Даны два вектора $ \overline{a} =(3;1) $ и $ \overline{b} = (2;4) $. Требуется найти косинус угла между векторами. |
Решение |
Напомним как найти косинус угла между векторами. Необходимо определить на плоскости или в пространстве находятся векторы, то есть сколько у них координат. Затем воспользоваться подходящей формулой. Первым делом вычисляем скалярное произведение: каждую координату одного вектора умножаем на соответствующую координату другого вектора, а потом суммируем произведения: $$ (\overline{a},\overline{b}) = 3\cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6+4=10 $$ Далее находим чему равны модули каждого из векторов: $$ |\overline{a}|=\sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10} $$ $$ |\overline{b}|=\sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} $$ Теперь можно найти косинус угла между векторами подставив найденные значения в первую формулу: $$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{10}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{20}} = $$ $$ = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ \cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ- Расстояние между двумя точками на плоскости
- Координаты вектора по двум точкам
- Разложение вектора по векторам
- Модуль вектора
- Площадь параллелограмма построенного на векторах
- Скалярное произведение векторов
- Середина вектора
- Векторное произведение
- Угол между векторами
- Перпендикулярность векторов
- Угол между плоскостями
- Проекция вектора на вектор
- Длина вектора
- Сложение векторов