Метод интегрирования по частям
Что такое интегрирование по частям?
Интегрирование по частям — это один из важнейших методов нахождения неопределенных и определенных интегралов, который применяется для вычисления интегралов от произведения функций. Этот метод особенно эффективен, когда другие способы интегрирования неприменимы.
Формула
Формула для неопределенного интеграла:
$$ \int udv = uv - \int vdu $$
Формула для определенного интеграла:
$$ \int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu $$
где:
- $u$ — дифференцируемая функция
- $dv$ — дифференциал другой функции
- $du$ — дифференциал функции $u$
- $v$ — первообразная функции $dv$
Когда применять метод?
Метод интегрирования по частям эффективен для следующих типов интегралов:
- Произведения многочленов и экспонент
- Произведения многочленов и тригонометрических функций
- Произведения логарифмических функций
- Произведения обратных тригонометрических функций
- Интегралы вида $\int P_n(x)e^{kx}dx$
- Интегралы вида $\int P_n(x)\sin(kx)dx$
- Интегралы вида $\int P_n(x)\cos(kx)dx$
где: $P_n(x)$ - многочлен $n$ степени; $k$ - постоянная.
Пошаговый алгоритм решения
- Анализ подынтегрального выражения
- Выбор функций $u$ и $dv$
- Нахождение производных и первообразных
- Применение формулы интегрирования
- Упрощение полученного выражения
- Проверка результата
Примеры решений
Найти интеграл методом интегрирования по частям $ \int xe^xdx $
Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла используем метод интегрирования по частям. Положим, $ u = x \rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $
Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем
$$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C. $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$
Решить интеграл $ \int x\cos x dx $
В качестве неизвестных функций $ u $ и $ v $ возьмем следующие: $ u=x \rightarrow du=dx $ и $ dv = \cos x dx \rightarrow v = \sin x $.
Подставим функции $ u $ и $ v $ в первую формулу
$$ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. $$
$$ \int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C $$
Вычислить интеграл $ \int \limits_1 ^e x\ln x dx $
В данном задании имеем интеграл с пределами, а поэтому будем применять формулу для определенного интеграла. Введём обозначения
$$ u = \ln x \rightarrow du = \frac{dx}{x}, \text{a за } dv = xdx \rightarrow v = \frac{x^2}{2}. $$
Осталось подставить это в формулу
$$ \int \limits_1 ^e x\ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x \bigg |_1 ^e - \int \limits_1 ^e \frac{x^2}{2}\frac{dx}{x} = \frac{e^2}{2} - 0 - \frac{1}{2} \int \limits_1 ^e xdx = $$
$$ =\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \frac{x^2}{2}\bigg |_1 ^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}(\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4} .$$
$$ \int \limits_0 ^1 x \ln x dx = \frac{e^2+1}{4} $$
Найти интеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $
По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать $ (x+5) $, то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так
$$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac{3^x}{ln3} .$$
Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу
$$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac{3^x}{\ln 3} \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac{3^x dx}{\ln 3} = $$
$$ = \frac{18}{\ln 3} - \frac{5}{\ln 3} - \frac{3^x}{\ln^2 3}\bigg| _0 ^1 = \frac{13}{\ln 3} - \frac{3}{\ln^2 3}+\frac{1}{\ln^2 3} = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3}. $$
$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$
Типичные ошибки и их предотвращение
- Неправильный выбор $u$ и $dv$ (Всегда проверяйте выбор функций)
- Ошибки при дифференцировании (Используйте таблицу производных)
- Пропуск константы интегрирования (Проверяйте результат дифференцированием)
- Неправильное применение формулы (Тренируйтесь на различных типах задач)
- Ошибки в знаках при интегрировании (Ведите записи решений)
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Вопрос 1: Как определить, какую функцию брать за u?
Ответ: Обычно за u берут функцию, которая упрощается при дифференцировании (логарифмические, обратные тригонометрические, степенные функции).
Вопрос 2: Можно ли применять метод интегрирования по частям несколько раз?
Ответ: Да, в некоторых случаях требуется многократное применение метода, особенно при работе с циклическими интегралами.
Вопрос 3: Какие интегралы нельзя решить методом интегрирования по частям?
Ответ: Интегралы, которые не являются произведением функций, или те, которые проще решить другими методами.