Интеграл от тангенса
Интеграл тангенса равен минус натуральный логарифм от косинуса: $$\int \tg x dx = -\ln |\cos x| + C $$
| Пример 1 |
| Доказать, что $ \int \tg x dx = -\ln |\cos x|$ |
| Решение |
|
Нам понадобится тригонометрическая формула: $$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$$
На основании этого, выполняем интегрирование: $$\int \tg x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = $$
Выполняем подведение синуса под знак дифференциала: $$ = -\int \frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln |\cos x| + C$$
|
| Ответ |
| $$\int \tg x dx = -\ln |\cos x| + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти интеграл с тангенсом $\int \tg 2x dx$ |
| Решение |
|
Записываем тангенс через известную тригонометрическую формулу с косинусом и синусом: $$\int \tg 2x dx = \int \frac{\sin2x}{\cos2x} dx = $$
Далее заносим синус под дифференциал по формуле: $\sin 2x dx = -\frac{1}{2} d(\cos 2x)$
Получаем, что $$ = -\frac{1}{2} \int \frac{d(\cos 2x)}{\cos 2x} = -\frac{1}{2} \ln|\cos 2x| + C$$
|
| Ответ |
| $$\int \tg 2x dx = -\frac{1}{2} \ln|\cos 2x| + C$$ |
