Полный дифференциал функции
Пусть дана функция $ z = f(x,y) $. Формула полного дифференциала функции записывается следующим образом:
$$ dz = f'_x (x,y) dx + f'_y (x,y) dy $$
- Находим первые частные производные функции $ z = f(x,y) $
- Подставляя полученные производные $ f'_x $ и $ f'_y $ в формулу, записываем ответ
Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = 2x + 3y $
Находим частные производные первого порядка:
$$ f'_x = 2 $$ $$ f'_y = 3 $$
Подставляем полученные выражения в формулу полного дифференциала и записываем ответ:
$$ dz = 2dx + 3dy $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ dz = 2dx + 3dy $$
Найти полный дифференциал функции нескольких переменных $ u = xyz $
Так как функция состоит из трёх переменных, то в формуле полного дифференциала функции необходимо это учесть и добавить третье слагаемое $ f'_z dz $:
$$ du = f'_x dx + f'_y dy + f'_z dz $$
Аналогично как и в случае функции двух переменных находим частные производные первого порядка:
$$ u'_x = yz $$ $$ u'_y = xz $$ $$ u'_z = xy $$
Используя формулу записываем ответ:
$$ du = yzdx + xzdy + xydz $$
$$ du = yzdx + xzdy + xydz $$
Найти значение полного дифференциала функции $ z = x^3+y^4 $, при $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ dx = 0.03 $ и $ dy = -0.01 $
Берем частные производные первого порядка:
$$ z'_x = 3x^2 $$ $$ z'_y = 4y^3 $$
Воспользовавшись формулой составляем полный дифференциал:
$$ dz = 3x^2 dx + 4y^3 dy $$
Из условия задачи известны все переменные для вычисления значения дифференциала. Подставив их и вычислим значение:
$$ dz = 3\cdot 1^2 \cdot 0.03 + 4 \cdot 2^3 \cdot (-0.01) = 0.09 - 0.32 = -0.23 $$
$$ dz = -0.23 $$