Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида:$$ f_1(x)g_1(y)dy=f_2(x)g_2(y)dx $$называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. В данном разделе математики эти уравнения самые лёгкие в решении.
Алгоритм решения
- Суть его состоит в том, чтобы обе части ду разделить на произведение функций, зависящих от разных переменных: $$ f_1(x)g_2(y) $$
- Таким образом мы приводим исходное уравнение, заданное по условию, к виду: $$ \frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = \frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$
- Далее необходимо проинтегрировать обе части уравнения, из которых мы получим функцию y(x): $$ \int \frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = \int \frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$
Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: $$ (x^2+9)y'=4xy $$
Решение как всегда начнем с анализа типа дифференциального уравнения. Данное уравнение попадает под определение ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. А значит, начнем действовать по алгоритму решения. Распишем подробно: $$ y' = \frac{dy}{dx} $$
Далее разделим обе части уравнения на произведение двух функций: $$ y(x^2+9) $$
Получаем:$$ \frac{dy}{y} = \frac{4xdx}{x^2+9} $$
Возьмем интеграл от обеих частей последнего равенства:$$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{4xdx}{x^2+9} $$
Используя формулы и методы интегрирования, получаем: $$ \ln|y| = 2 \int \frac{d(x^2+9)}{x^2+9} $$
$$ \ln|y| = 2 \ln|x^2+9|+C $$
Общее решение: $$ y = C \cdot (x^2+9)^2, C = const $$
Как видим ответ легко получен и записан в последней строчке.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ y = C \cdot (x^2+9)^2, C = const $$
Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: $$ cos^2xdy=sin^2ydx $$
Решаем: $$ \frac{dy}{sin^2y}=\frac{dx}{cos^2x} $$
$$ \int \frac{dy}{sin^2y}=\int \frac{dx}{cos^2x} $$
$$ -ctgy = tgx + C $$
$$ y = arcctg(-tgx+C) $$
Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными: $$ y'e^{x+y}=1 $$
Решать начнем с того, что воспользуемся свойством:$$ e^{x+y} = e^x \cdot e^y $$
Получаем, $$ y'e^x\cdot e^y = 1 $$
Разделяем переменные, $$ e^y dy=\frac{dx}{e^x} $$
Спокойно интегрируем уравнение, $$ \int e^y dy= \int \frac{dx}{e^x} $$
$$ e^y= \int e^{-x} = -e^{-x} + C $$
Отсюда ответ, $$ y=ln(-e^{-x}+C) $$
$$ y=ln(-e^{-x}+C) $$
Решить задачу Коши для ДУ с разделяющимися переменными: $$ x^2 y'=y^2, y(1)=1 $$
Найдем для начала общее решение ДУ: $$ \frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2} $$
$$ \int \frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2} $$
$$ -\frac{1}{y}= -\frac{1}{x} + C $$
Отсюда получается общее решение: $$ y = \frac{1}{\frac{1}{x}+C} $$
Решить задачу Коши это значит, найти постоянную $ С $ из дополнительного условия $ y(1)=1 $. Чтобы это проделать нужно подставить в общее решение $ x = 1 $ и $ y = 1 $.
$$ \frac{1}{1+C}=1 $$
$$ 1+C=1 $$
$$ C=0 $$
Теперь, подставляя найденное $ С = 0 $ в общее решение, записываем ответ: $$ y = x $$
$$ y = x $$