Производная сложной функции: примеры решений

Достаточно часто студентам в контрольных работах по математике нужна производная сложной функции, примеры решений которой будут рассмотрены на практике в данном материале. Но сначала краткая теория.

Формула

Пусть есть функция , тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется "по цепочке". Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.

Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.

Примеры решений

Пример 1
Найти производную сложной функции:
Решение

Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции: 

Ответ
Пример 2
Найти производную сложной функции:
Решение

Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента:

Ответ
Пример 3
Найти производную сложной функции:
Решение

Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции:

Ответ
Пример 4
Найти производную сложной функции:
Решение

Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем:

Ответ
Пример 5
Найти производную от сложной функции:
Решение

Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем:

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:

Первая функция  - это производная от сложной функции:

Вторая функция  - это производная сложной функции:

Продолжаем нахождение производной исходной функции:

Ответ

В статье: «Производная сложной функции: примеры решений» была приведена формула и её словесное толкование. Также разобрано решение задач по данной теме. 

Рекомендуем прочитать:
Формулы производных