Пределы с корнями: примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения в функцию получаются неопределенности трёх видов:

  1.  

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1
Найти предел с корнем
Решение

Подставляем в подпределельную функцию:

Получаем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень:

Используя формулу разности квадратов приведем предел к следующему виду:

Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:

Сокращам функцию в пределе на , имеем:

Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание

Тип 2

Пределы с корнем такого типа, когда вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2
Решить предел с корнем
Решение

Вставляем в предел и получаем . Определяем, что в числителе старшая степень это , а в знаменателе . Выносим их за скобки: 

Теперь выполняем сокращение:

Снова подставляем в предел, имеем:

Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание

Тип 3

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3
Вычислить предел корня
Решение

При  в пределе видим:

После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов:

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

Далее выносим за скобки и сокращаем:

Снова подставляем в предел и вычисляем его:

Ответ

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ