Область сходимости степенного ряда: примеры

Под областью сходимости степенных рядов понимается множество значений , при которых ряд сходится.

Для того, чтобы найти область сходимости степенного ряда  достаточно воспользоваться формулой Даламбера:

Если:

  1. , то область сходимости
  2. , то область сходимости состоит из
  3. В остальных случаях составляем неравенство и решаем его

После решения неравенства получаем интервал сходимости степенного ряда. Обязательно нужно исследовать сходимость ряда на концах полученного интервала. Для этого используем штатные признаки сходимости рядов:

  • Сравнения
  • Предельный
  • Даламбера
  • Радикальный Коши
  • Интегральный Коши
  • Лейбница
  • Другие известные

Возможно так что ряд очевидным образом расходится на каком-либо из концов, полученного интервала. Не забываем проверять необходимый признак сходимости

Радиус сходимости вычисляется по формуле:  

Пример
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение

Выпишем общий член и следущий:

Найдем отношения следующего и предыдущего члена ряда:

Находим предел модуля полученного выражения:

Так как положительное, то палочки можно убрать. А может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому его выносить за знак модуля не станем.

Вынесем за скобки и выполним сокращение числителя и знаменателя:

Вычисляем предел окончательно:

Итак, предел равен:

Составим строгое неравенство всегда меньшее единицы:

Раскроем модуль и получим, что интервал сходимости:

Итак, интервал найден. Теперь необходимо найти область сходимости степенного ряда. А для этого исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

1) Возьмём левую границу

Подставляя в исходный ряд, получаем ряд:

Так как ряд знакочередующийся из-за  , то исследуем сходимость по признаку Лейбница:

1) Ряд знакочередующийся

2)

Выполнены оба условия, значит ряд сходится и точку можно включить в область сходимости.

2) Возьмём правую границу

Подставим  в исходный ряд и получим: 

Текущий ряд попадает под общий гармонический ряд, в котором . А так как , то ряд сходится. Значит, можно точку записать в область сходимости.

Итого, подведем итог: область сходимости степенного ряда записывается в виде: 

Найдем радиус сходимости

Ответ
Рекомендуем прочитать:
Признак Даламбера