Наибольшее и наименьшее значение функции

Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $.

Находим производную: $$ y' = (2x^3 - 3x^2 - 4)' = 6x^2 - 6x $$

Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки:

$$ 6x^2 - 6x = 0 $$ $$ 6x(x - 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$

Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $:

$$ x_1 \in [0;2], x_2 \in [0;2] $$

Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $:

$$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 4 = -4 $$

$$ y(x_2) = y(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 4 = -5 $$

$$ y(b) = y(2) = 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 4 = 0 $$

Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Функция непрерывна на $ x \in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $.

Выполняем нахождение производной:

$$ y' = (\frac{4x^2}{3+x^2})' = \frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)'}{(3+x^2)^2} = $$

$$ = \frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = \frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = \frac{24x}{(3+x^2)^2} $$

Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки:

$$ \frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 \neq 0 $$ $$ x = 0 $$

Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $.

Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $:

$$ y(-1) = \frac{4\cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = \frac{4}{4}=1 $$

$$ y(0) = \frac{0}{3} = 0 $$

$$ y(1) = \frac{4\cdot 1^2}{3+1^2} = \frac{4}{4} = 1 $$

Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $.