Метод (теорема) Лопиталя: формула и решение пределов на примерах

Для решения пределов существуют различные методы решений и формулы. Но самым быстрым и легким способом, а также универсальным являтся метод Лопиталя. Для того, чтобы успешно пользоваться этим замечательным простым способом вычисления пределов достаточно хорошо уметь находить производные различных функций. Начнём с теории.

Теорема

Сформулируем теорему Лопиталя. Если:

  • Существуют
  • Существует

тогда существует

Метод решения пределов

  1. Подставляем точку в предел
  2. Если получается , тогда находим производную числителя и знаменателя
  3. Подставляем точку в получившийся предел и вычисляем его. Если получается неопределенность, то повторяем пункты 2 и 3

Формула Лопиталя

Для того, чтобы вычислить пределы по Лопиталю достаточно воспользоваться простой формулой:

Примеры решения

Приведем практические примеры решения пределов методом Лопиталя.

Пример 1
Решить предел по правилу Лопиталя:
Решение

Видим, что получилась неопределенность , если подставить вместо иксов точку , а это первый сигнал о том, что необходимо применить формулу для вычисления предела. Используем её:

 

Снова попробуем вычислить предел подставив в последний предел, получаем:

Ответ
Пример 2
Вычислить пределы правилом Лопиталя:
Решение

Решение проводим стандартно, подставляя икс.

Ответ
Пример 3
Воспользовавшись формулой Лопиталя решить предел: 
Решение

Ответ
Пример 4
Вычислить предел используя правило Лопиталя:
Решение

Ответ

Подведем итог: Теорема Лопиталя - это способ и метод благодаря которому можно раскрывать неопределенности вида  и  при вычислении пределов. Суть его состоит в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций.

Если не получается решить свои пределы, то мы готовы помочь вам. Достаточно заполнить форму заказа и мы ответим через 15 минут!